Iracionální nerovnice

Ahoj Jano,

máme tedy nerovnici

\( \sqrt{ x+2} > x \)

Pod odmocninou musí být nezáporné číslo, odtud PODMÍNKA: \( x\geq-2 \).

Na pravé straně tedy může být číslo kladné i záporné - obě možnosti vyšetříme zvlášť.

a) \( x\geq 0 \)

Na obou stranách nerovnice \( \sqrt{ x+2} > x \) je kladné číslo (nebo nula). Nerovnici umocníme, dostaneme kvadratrickou nerovnici s výsledkem \( x\in [-1,2) \).

b) \( x<0 \) nebo společně s PODMÍNKOU \( x\in[-2,0) \)

Na levé straně nerovnice \( \sqrt{ x+2} > x \) je KLADNÉ číslo (odmocnina je vždy nezáporná) nebo nula, zatímco na pravé straně je ZÁPORNÉ číslo. Protože kladné číslo na levé straně je vždy větší než záporné číslo na pravé straně, je nerovnice splněna vždy, tedy pro každé \( x\in[-2,0) \).

Dohromady a) + b) dává \( x\in[-2,2) \), interval je zleva uzavřený, zprava otevřený.

Mohou nastat i další případy, blíže zde: http://www.realisticky.cz/ucebnice/01%20Matematika%20S…

Děkuji moc. Ale pořád nerozumím několika bodům. Mne vychází kvadratická nerovnice (-1,2). Proč je u -1 uzavřený interval. A pak nerozumím x<0 nebo společně s podmínkou x náleží intervalu uzavřený -2,0 otevřený. Kde se vzal tento interval? Omlouvám se, že to pořád nechápu. Jana

Ahoj,

ad -1 ... ano, má tam být otevřený, je tam ostrá nerovnost.

ad podmínky ... odmocnina v zadání nám dává podmínku \(x + 2 \ge 0\), tedy \( x \ge -2\). Jelikož řešíme pouze omezený druhý případ, máme ještě druhou podmínku \( x < 0\), tedy celkem \( -2 \le x < 0\).

V tomto případě je možné tu nulu zahrnout i nezahrnout. Ale obecně nedává smysl ji mít ve dvou sadách řešení, protože ten výsledek bude totožný.