Lineární nerovnice

Vlastně tam máte napsány tři funkce, yA

Máte tři funkce: aY,yB,yC, nakreslete si nejprve jejich asymptoty, jsou tu vždycky dvě, pak grafy, yA,yC dá hyperboly, yB dá přímku y=1. Z toho pak hned uvidíte, pro který interval x to platí, čili musí platit yA< yB, dále yA

Nechápu, proč to nedokáže vzít celý text, dále yA< yC a také yB

yB

yB< yC .

Nebo bez kreslení grafů:

Zadání nám definuje 3 rovnice. Průnik jejich řešení je výsledné řešení.

Nejprve podmínky - jmenovatel nesmí být nula: $x \neq -2$ z prvního výrazu a $x \neq 1$ z třetího.

První rovnice: $\frac{ 2x+1} { x+2} < 1$, tedy $\frac{ x-1} { x+2} < 0$. Zlomek je záporný, pokud se znaménko čitatele a jmenovatel liší, tedy $x-1 > 0$ a $x+2 < 0$ nebo $x-1 <0$ a $x+2 >0$.

První dvojice dá práznou množinu, druhá dvojice nám dá $x \in (-2,1)$

Druhá rovnice: $1 < \frac{ 3x+1} { x-1}$, tedy $0 < \frac{ 2(x+1)} { x-1}$, Zlomek je kladný, pokud má čitatel i jmenovatel stejné znaménko, tedy $x+1 > 0$ a $x-1 >0$ nebo $x+1 < 0$ a $x-1 <0$.

První dvojice dá $x in (1;\infty)$, druhá pak $x \in (-\infty,-1)$.

Průnik řešení prvních dvou rovnic dá $x \in (-2,-1)$. Splnění těchto dvou rovnic přímo implikuje splnění třetí, takže tady můžeme přestat.

Pro kontrolu můžeme dopočítat i třetí rovnici: $\frac{ 2x+1} { x+2} < \frac{ 3x+1} { x-1}$, tedy $0 < \frac{ x^2+8x+3} { x^2+x-2}$.

Chceme stejná znaménka. Kořeny čitatele jsou $-4 \pm \sqrt{ 13} \approx -7.5$ a $-0.5$ a záporný je mezi nimi. Kořeny jmenovatele jsou $-2$ a $1$ a záporný je mezi nimi. Vidíme, že na výsledném intervalu $(-2,-1)$ jsou oba záporní a tedy je nerovnice splněna.