Matematika

Přeji pěkné odpoledne, Lenko,

u logaritmických rovnic je zcela esenciální začít podmínkami řešitelnosti. Definiční obor logaritmu je (pro logaritmus reálného čísla) množina kladných reálných čísel, tedy v případě prvního příkladu musí současně platit následující podmínky:

\(x > -9\)

\(x > -3 \)

\(x > 3 \)

To se dá obecně vyjádřit pouze pomocí jediné podmínky \(x > 3 \).

Dále využijeme vlastnosti, že pro kladná \(a, b\) platí vztah: \(\log(a) + \log(b) = \log(a \cdot b)\),

tedy rovnici

\(\log(x + 9) = \log(x + 3) + \log(x - 3)\)

můžeme vyjádřit jako

\(\log(x + 9) = \log((x + 3) \cdot (x - 3))\).

Nyní využijeme toho, že funkce \(10^x\) je prostá, tedy je možné dosadit obě strany rovnice do argumentu této funkce.

\(10^{ \log(x + 9)} = 10^{ \log((x + 3) \cdot (x - 3))} \)

Všimněme si taky, že funkce \(10^x\) a \(\log(x)\) jsou navzájem inverzní, tedy platí \(10^{ \log(x)} = x\). Toto pravidlo také aplikujeme na náš příklad.

\(x + 9 = (x + 3) \cdot (x - 3)\)

Další postup je asi zřejmý, vše upravíme a rozložíme kvadratickou rovnici na součin tak, že nám vyjde:

\((x - \frac{ 1 - \sqrt{ 73} } { 2} )\cdot(x - \frac{ 1 + \sqrt{ 73} } { 2} ) = 0\)

Vzhledem k počátečním podmínkám je řešením původní rovnice pouze

\(x = \frac{ 1 + \sqrt{ 73} } { 2} \)

Další příklady se řeší obdobně, jen nesmíte zapomenou na následující:

• je vždy nutné začít stanovením podmínek řešitelnosti a na konci je porovnat s výsledkem

• \(\log(a) + \log(b) = \log(a \cdot b)\), pokud jsou \(a, b\) kladné hodnoty

• \(\log(a) - \log(b) = \log(\frac{ a} { b} )\), pokud jsou \(a, b\) kladné hodnoty

• \(10^{ \log(x)} = \log(10^x) = x\)

• \(\log_{ a} (b) = \frac{ \log_c(b)} { \log_c(a)} \), pokud jsou \(a, b, c\) kladné a pokud \(a, c \neq 1\)