Matematika

Přeji pěkné odpoledne, Lenko,

u logaritmických rovnic je zcela esenciální začít podmínkami řešitelnosti. Definiční obor logaritmu je (pro logaritmus reálného čísla) množina kladných reálných čísel, tedy v případě prvního příkladu musí současně platit následující podmínky:

$x > -9$

$x > -3$

$x > 3$

To se dá obecně vyjádřit pouze pomocí jediné podmínky $x > 3$.

Dále využijeme vlastnosti, že pro kladná $a, b$ platí vztah: $\log(a) + \log(b) = \log(a \cdot b)$,

tedy rovnici

$\log(x + 9) = \log(x + 3) + \log(x - 3)$

můžeme vyjádřit jako

$\log(x + 9) = \log((x + 3) \cdot (x - 3))$.

Nyní využijeme toho, že funkce $10^x$ je prostá, tedy je možné dosadit obě strany rovnice do argumentu této funkce.

$10^{ \log(x + 9)} = 10^{ \log((x + 3) \cdot (x - 3))}$

Všimněme si taky, že funkce $10^x$ a $\log(x)$ jsou navzájem inverzní, tedy platí $10^{ \log(x)} = x$. Toto pravidlo také aplikujeme na náš příklad.

$x + 9 = (x + 3) \cdot (x - 3)$

Další postup je asi zřejmý, vše upravíme a rozložíme kvadratickou rovnici na součin tak, že nám vyjde:

$(x - \frac{ 1 - \sqrt{ 73} } { 2} )\cdot(x - \frac{ 1 + \sqrt{ 73} } { 2} ) = 0$

Vzhledem k počátečním podmínkám je řešením původní rovnice pouze

$x = \frac{ 1 + \sqrt{ 73} } { 2}$

Další příklady se řeší obdobně, jen nesmíte zapomenou na následující:

• je vždy nutné začít stanovením podmínek řešitelnosti a na konci je porovnat s výsledkem

• $\log(a) + \log(b) = \log(a \cdot b)$, pokud jsou $a, b$ kladné hodnoty

• $\log(a) - \log(b) = \log(\frac{ a} { b} )$, pokud jsou $a, b$ kladné hodnoty

• $10^{ \log(x)} = \log(10^x) = x$

• $\log_{ a} (b) = \frac{ \log_c(b)} { \log_c(a)}$, pokud jsou $a, b, c$ kladné a pokud $a, c \neq 1$