Stále mi vychází špatný interval log nerovnice
Zdravím všechny,
řeším už několik dní tento příklad.
\(\log_{ 2} x \leq \frac{ 2} { \log_{ 2} x - 1} \)
Bohužel mi vždy vyjde špatný interval.
Vychází mi
\(x \epsilon <\frac{ 1} { 2} ;2)\cup(2;4>\)
ale správně je
\(x \epsilon (0;\frac{ 1} { 2} >\cup(2;4>\)
Ty značky <> mají být znaky pro včetně.
Někde dělám chybu v obrácené nerovnosti, ale nevím kde. Kořeny kvadratické nerovnice po substituci vychází -1 a 2. Takže bych měl hledat výsledky pro
\(\log_{ 2} x\)
větší nebo rovno -1 a zároveň menší nebo rovno 2. Aspoň tak si myslím, že je správný postup, ale proč musí být pro kořen -1 obrácená nerovnost, pořád nechápu.
Děkuji moc za rady
Daniel H.
22. 09. 2021 22:05
4 odpovědi
Ahoj, substituce \(y = \log_2 x\) je dobré řešení.
Pak si ale musíme dát pozor na tu nerovnost...
Pro \(y >=1 \) mame \(y^2 - y - 2 \leq 0\) - znamenko se neobraci, pro \(y<=1\) mame \(y^2 - y - 2 \geq 0\) - znamenko se obraci.
Z prvniho nam zustane \(y \in \left[1,2\right]\) a z druheho \(y \in \left(-\infty,-1\right]\)
Přiznám se, že jsem ten tvůj postup úplně nepochopil. Nicméně jak jsem psal. Výsledek má být
\(x\epsilon { \displaystyle ( 0,\frac{ 1} { 2} \rangle } \cup { \displaystyle ( 2,4\rangle } \)
a já bych jen rád věděl, jak se k tomu dá dostat. Přijde mi, že je to celkem zapeklitý příklad :D
Ok, rozepíšu...
Pro začátek uděláme substituci \(y = \log_2x\) a dostaneme nerovnici
\(y \leq \frac{ 2} { y-1} \)
Dalším krokem v řešení je vynásobení obou stran výrazem \((y-1)\). Jelikož je to nerovnice, nese to s sebou rozpad na dvě části řešení:
Pro \((y-1) > 0\), tedy \(y > 1\) dostaneme \(y^2 - y \leq 2\).
Pro \((y-1) < 0\), tedy \(y < 1\) dostaneme \(y^2 - y \geq 2\) - při násobení nerovnice záporným číslem se mi otáčí znaménko nerovnosti.
Po odečtení dvojky od obou stran nerovnice dostaneme vpravo nulu a vlevo funkci \(y^2-y-2\).
Tato funkce je větší nezáporná pro \(y \in \left(-\infty;-1\right] \cup \left[2;\infty\right)\). Nekladná je pak pro \(y \in \left[-1;2\right]\).
Celkové řešení tedy dostaneme takto:
\(\left\lbrace y \in \left(-\infty;1\right] \cap \left( \left(-\infty;-1\right] \cup \left[2;\infty\right) \right) \right\rbrace \cup \left\lbrace y \in \left[1;\infty\right) \cap \left[-1;2\right] \right\rbrace\)
Tedy
\(y \in \left(-\infty;-1\right] \cup \left[1;2\right]\)
Dostaneme tedy rovnice:
\( \log_2x \leq -1\) OR \(1 \leq \log_2x \leq 2\)
Logaritmus i exponenciála jsou spojité, monotónní, dokonce obě rostoucí v celém intervalu, a prosté, takže můžeme provést úpravu:
\( x \leq 2^{ -1} = \frac{ 1} { 2} \) OR \(2^1 = 2 \leq x \leq 2^2 = 4\)
Stačí takto rozepsané?
Poslední omezení tam je, že \(x > 0\), aby fungovala funkce \(\log\). To jsem tam zapomněl napsat.