Stále mi vychází špatný interval log nerovnice

Ahoj, substituce $y = \log_2 x$ je dobré řešení.

Pak si ale musíme dát pozor na tu nerovnost...

Pro $y >=1$ mame $y^2 - y - 2 \leq 0$ - znamenko se neobraci, pro $y<=1$ mame $y^2 - y - 2 \geq 0$ - znamenko se obraci.

Z prvniho nam zustane $y \in \left[1,2\right]$ a z druheho $y \in \left(-\infty,-1\right]$

Přiznám se, že jsem ten tvůj postup úplně nepochopil. Nicméně jak jsem psal. Výsledek má být

$x\epsilon { \displaystyle ( 0,\frac{ 1} { 2} \rangle } \cup { \displaystyle ( 2,4\rangle }$

a já bych jen rád věděl, jak se k tomu dá dostat. Přijde mi, že je to celkem zapeklitý příklad :D

Ok, rozepíšu...

Pro začátek uděláme substituci $y = \log_2x$ a dostaneme nerovnici

$y \leq \frac{ 2} { y-1}$

Dalším krokem v řešení je vynásobení obou stran výrazem $(y-1)$. Jelikož je to nerovnice, nese to s sebou rozpad na dvě části řešení:

Pro $(y-1) > 0$, tedy $y > 1$ dostaneme $y^2 - y \leq 2$.

Pro $(y-1) < 0$, tedy $y < 1$ dostaneme $y^2 - y \geq 2$ - při násobení nerovnice záporným číslem se mi otáčí znaménko nerovnosti.

Po odečtení dvojky od obou stran nerovnice dostaneme vpravo nulu a vlevo funkci $y^2-y-2$.

Tato funkce je větší nezáporná pro $y \in \left(-\infty;-1\right] \cup \left[2;\infty\right)$. Nekladná je pak pro $y \in \left[-1;2\right]$.

Celkové řešení tedy dostaneme takto:

$\left\lbrace y \in \left(-\infty;1\right] \cap \left( \left(-\infty;-1\right] \cup \left[2;\infty\right) \right) \right\rbrace \cup \left\lbrace y \in \left[1;\infty\right) \cap \left[-1;2\right] \right\rbrace$

Tedy

$y \in \left(-\infty;-1\right] \cup \left[1;2\right]$

Dostaneme tedy rovnice:

$\log_2x \leq -1$ OR $1 \leq \log_2x \leq 2$

Logaritmus i exponenciála jsou spojité, monotónní, dokonce obě rostoucí v celém intervalu, a prosté, takže můžeme provést úpravu:

$x \leq 2^{ -1} = \frac{ 1} { 2}$ OR $2^1 = 2 \leq x \leq 2^2 = 4$

Stačí takto rozepsané?

Poslední omezení tam je, že $x > 0$, aby fungovala funkce $\log$. To jsem tam zapomněl napsat.