Vytvořující funkce

Napadá mě \(a_n = (a_{ n-1} + a_{ n-2} )\cdot \left(-1\right)^{ a_{ n-1} } \)

Tak pardon, už jsem si přečetl, co je vytvořující funkce...

Uvedená posloupnost se dá poskládat jako součet tří:

\(1,-1,1,-1,1,-1...\)

\(0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-1,0...\)

a

\(0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0...\)

Vytvořující funkce těchto posloupností by měly být po řadě

\(\frac{ 1} { 1+x} \)

\(-x^2\cdot \frac{ 1} { 1-x^6} \)

a

\(x^5\cdot \frac{ 1} { 1-x^6} \)

Celkově by tedy vytvořující funkce měla být

\(\frac{ 1} { 1+x} -x^2\cdot \frac{ 1} { 1-x^6} + x^5\cdot \frac{ 1} { 1-x^6} \)

Čerpáno z https://prase.cz/library/vytvorujici_funkce…

Ahoj,

jestli dobře rozumím zadání, tak máme sekvenci \( A = 1,-1,0,-1,1,0, ... \) o periodě 6.

Vezmu si \( A(x) \) jako generující funkci pro \( A \) a je vidět, že když ji posunu o 3 prvky doprava a přičtu k sobě samé, dostanu vztah

\( A(x) + x^3A(x) = 1-x \)

Z toho plyne, že generující funkce \( A(x) = \frac{ 1-x} { 1+x^3} \)

Tím pádem je snadné sestrojit rekurentní formuli

\( a_0=1, a_1=-1, a_2=0, a_n=-a_{ n-3} \)