Diferenciální rovnice 1. řádu

Omlouvám se ještě za zmatek v označení konstant, na konci by měla být místo C konstanta K, kde K = e^C.

Ještě jsem zapomněl: Podmínka y(0) = 10 => C = 10

Honzo, když se v matematice snažíš něco vypočítat, platí, že účel světí prostředky.

To znamená, že nejprve spočítáš výsledek, teprve potom řešíš podmínky.

Třeba podmínka na druhém řádku je chybná, stejně tak je chybná podmínka u řešení z webu.

Dej obě absolutní hodnoty pryč, získej výsledek pro y a zpětně ověř, že je platný na celém oboru, to je kompletní výpočet.

Na závěr malá úvaha k absolutním hodnotám na posledním řádku.

Hledáš y takové, aby platila poslední rovnost, tedy y je z definice rovno pravé straně.

Pokud se levá strana rovná pravé, pak se musí rovnat také absolutní hodnoty obou stran, s klidem je můžeš dát pryč.

Tomáši, dovolím si nesouhlasit. Podmínka na druhém řádku není chybná, ale naopak nutná pro to aby mohl vydělit. Ale protože původní rovnice to dělení neobsahuje, tak je potom potřeba prověřit co by se stalo, kdyby x bylo rovno -1. A ukáže se po dosazení do původní rovnice, že řešením je identická nula.

A co se týče těch absolutních hodnot, tak je taky nemůže jen tak dát pryč. Respektive může je dát pryč, ale jen proto, že je tam ta konstanta C, která může být kladná i záporná a tím se vyřeší klasické +- plynoucí z absolutní hodnoty. Ale vzhledem k tomu, že je tam ta počáteční podmínka, tak to řešení musí být +- 10krát ta funkce co tam vyjde.

Jo a kde se vzala ta podmínka na x>-1, tak to teda opravdu netušim.

Marku, je fakt, že moje výpočty jsou spíše zaměřené na praxi. Školní postupy jsou formálně správné, ale existují rychlejší a "levnější" varianty, přitom stále korektní. Pokud příklad spočítáš bez absolutní hodnoty a zpětně ověříš platnost a úplnost řešení, je to o dost jednodušší. Nejsem si už ale jistý, nakolik je to vhodná argumentace do písemky :-)

Jako analogii bych uvedl komplexní řešení kvadratické rovnice na reálném oboru. Ono školní "nemá řešení" je dost zvláštní, když dosazením nereálného výsledku do zadání dostanu správný výsledek. Podobný postup se dá použít skoro vždycky a překvapivě vede k méně chybám.

Abych se přiznal, tvému argumentu s absolutní hodnotou moc nerozumím. Mám konstantu C na obou stranách, nemůže tedy ovlivnit znaménko. Mohl bys vysvětlit, jak jsi to myslel, prosím?

Tomáši, nerozumím úplně tvému způsobu uvažování. Odstraním absolutní hodnotu a zpětně ověřuji správnost? Setkal jsem se s podobným příkladem, u kterého jsem se zadrhl. Můžete mi prosím pomoct? Honza

Honzo, nerozumíš mi proto, že tě to takhle ve škole neučí.

Když matematik řeší problém, použije u toho libovolné úpravy. Tím myslím opravdu libovolné. Díky tomu některé rovnosti během výpočtu nemusí nutně platit, takže se zpětně musí napravit, aby byl výpočet korektní. Je to velice intuitivní postup a často rychlejší, protože pokud získáš správný výsledek, nemusíš se starat o některé části postupu, ty se schovají do jiných částí a v důsledku ověřuješ menší část postupu.

Naproti tomu ty se díváš na řešení příkladu jako na seznam úkonů, které jsi dostal jako zákon prověřený historií. Když pak narazíš na dvě absolutní hodnoty, neznáš vhodnou úpravu, protože na jedné straně je x a na druhé straně je výraz závislý na x.

To, bohužel, není matematika, ale historie matematiky, pečlivě vyučovaná na našich školách. Já měl štěstí, že jsem potkal matematiky, kteří vyučují jiným způsobem. Abych ti ukázal, jak to rozuzlit, udělám přesně to, co jsem říkal. Provedu neplatnou úpravu a zpětně ověřím její korektnost. Podívej se na přílohu.

1/ zapomenu, že y je závislá na x a odstraním absolutní hodnotu u y, jak jsi zvyklý [to není korektní úprava] 2/ dále pro obě funkce odstraním absolutní hodnotu u x a rozepíšu tabulku 3/ porovnám znaménka koeficientů u exponenciály 4/ ověřím platnost podmínek pro x i y nyní vyjádřenou pomocí x [tohle je důležité a ukazuje, že krok 1 byl korektní]

V důsledku je vidět, že odstraněním obou absolutních hodnot jsme dostali tabulku, jejíž části lze spojit do jediné funkce, oné hledané exp(C/x).

Postup chápu, ale není mi pořád jasné, jak z toho můžeš na závěr usoudit, že y = e^(C/x). Vždyť o pár řádků výše jsi dokázal, že tento předpis platí jenom pro y > 1 a zároveň x > 0 a ještě pro y < 1 a x < 0. Nemůžeš přece jako obecné řešení diferenciální rovnice použít y = e^(C/x), když to platí jenom pro polovinu výsledků. Omlouvám se za svoji nechápavost :D. Honza

:-)) To je hezká omluva, ale já ten závěr schválně usekl. Tak trochu doufal, že si to přepočítáš sám a uvidíš to v tom. Ty víš, co máš s příkladem dělat, jenom ti trochu uniká podstata té rovnice. Za tenhle kousek se zase omlouvám já ;-)

Takže jak to? Řádky v tabulce se totiž doplňují. Tabulku jsme získali fixací okolo y a rozborem x. Když se na to podíváš z druhé strany, tak x < 0 => y < 1 [první řádek] a x > 0 => y > 1 [čtvrtý řádek]. To je celé řešení, nejen polovina.

Alternativní důkaz máš v příloze. Ve svém řešení jsi udělal na předposledním řádku chybu v definici K. Tak trochu jsem také doufal, že ji uvidíš, až se budeš divit, proč platí nerovnosti v mé tabulce.

Naše řešení teď tedy je bez absolutní hodnoty, ale K > 0. Stačí si uvědomit, že bez absolutní hodnoty může x nabývat i záporných čísel, takže můžeme tuhle podmínku uvolnit a nechat K na celých reálných číslech. To snadno ověříš derivací y a dosazením do původní rovnice.

EDIT: Ještě ti dám jednu otázku, možná najdeš ten svůj AHA! moment. Vysvětlil jsem ti, jak první a čtvrtý řádek tabulky obsahují všechna řešení. Co s druhým a třetím řádkem? Všimni si, že máme mínusové znaménkou před zlomkem. Co když tohle znaménko přesunu před C? Co to říká o konstantě v exp(C/x) pokud víme, že podmínky rovnice jsou podle tabulky splněny?