Jak vypočítat tuto složenou derivaci?

Funkci lze přepsat pomocí vztahu pro logaritmus podílu

\(\ln\frac{ A} { B} =\ln A - \ln B\)

jako

\( f(x)= \ln x^2 -\ln(x-1) \)

Derivujeme každý logaritmus zvlášť.

První logaritmus \( \ln x^2 \) je složená funkce, která se derivuje takto:

(derivace vnitřní funkce) x (derivace vnější funkce)

Vnitřní funkce je \( u=x^2 \), její derivace je \(u'=2x \).

Vnější funkce je \( \ln u \), její derivace je \( ( \ln u )' =\frac{ 1} { u} \).

Dohromady

(derivace vnitřní funkce) x (derivace vnější funkce)

\( \displaystyle (\ln x^2)'=u' \cdot\frac{ 1} { u} =2x \cdot\frac{ 1} { x^2} =\frac{ 2} { x} \)

Druhý logaritmus \( \ln (x-1) \) je také složená funkce. Ale derivace vnitřní funkce \( (x-1)'=1 \), proto stačí derivovat vnější funkci:

\( \displaystyle \ln (x-1)'=\frac{ 1} { x-1} \)

Dohromady

\(\displaystyle f'(x)= (\ln x^2)' -(\ln(x-1))'=\frac{ 2} { x} - \frac{ 1} { x-1} \)

což upravíme na společného jmenovatele a zjednodušíme.

( ln u ) ´ = ( 1 / u ) , ( x ^ 2 ) ´ = ( x * x ) ´ = x ´ * x + x * x´ = 2 * x´ * x = 2 * 1 * x = 2 x , ( x - 1) ´ = 1 + 0 = 1 , ( a / b ) ´ = ( a * b ^ -1 ) ´ = a´ * ( b ^ -1 ) + a * b´ * ( -1 / b ^ 2 ) = ( a´ / b ) - ( a * b´ ) / ( b ^ 2 ) = ( a´ * b - a * b´ ) / ( b ^ 2 ) a ty výsledky jednotlivých limit ( zde derivací ) spolu násobit a máte výsledek, součin obecně je takto, když je členů více: ( abcd ) ´ = a´ * bcd + b´ * acd + c´ * abd + d´ * abc , když tři tak ( abc ) ´ = a´ * bc + b´ * ac + c´ * ab , když dva tak ( ab ) ´= a ´* b + b´ * a, když jeden, tak ( a ) ´ = a ´, podíl si můžete pamatovat jako součin protože a / b = a * ( 1 / b) = a * b ^ -1 a když jich bude více v tom zlomku, tak podle toho vztahu pro součin těch více členů v součinu , tak "cokoliv" si můžete upravit téměř na "cokoliv" , třeba ( x ^ 4 ) ´ je jen jinak rozepsaný ten vzorec pro součin čtyř členů ( abcd ) ´ a protože jsou všechny stejné ( abcd ) ´= ( xxxx )´ = x´ * xxx + x´ * xxx + x´ * xxx +x´ * xxx = 1 * xxx +1 * xxx+1 * xxx+1 * xxx = 4 * xxx = 4 * x ^ 3 takže se to všechno dá docela "zjednodušit" a téměř žádné vzorce nepotřebujete

Jde to i bez složené derivace, použijeme-li na první logaritmus vzorec

\( \ln A^B=B \ln A \)

tedy

\( \ln x^2=2 \ln x \)

Derivace tohoto členu je pak hned zřejmá.