Kvadratická nerovnica s parametrom

Milí matematici.

Prosím o pomoc s týmto príkladom na kvadratickú nerovnicu v podiele s parametrom. Je to úplne dole 5. príklad.

Ďakujem veľmi pekne.

Michaela


Obtížnost: Střední škola
Michaela M.

Michaela M.

07. 01. 2021   20:20

2 odpovědi

Zeněk R.
Zeněk R.
07.01.2021 21:28:00

Zdravím.

a) můžeš si všimnout, že výraz \(x^2-x+1>0\) pro všechna reálná čísla, takže jím bez újmy na obecnosti můžeš celou nerovnici vynásobit. Dostaneš

\(-3x^2+3x-3<x^2+ax-2<2x^2-2x+2\) a to si přepíšeš na soustavu

$$\begin{cases}-4x^2+(3-a)x-1<0;\ x^2-(a+2)x+4>0\end{cases}$$

  1. nerovnici upravíš na \(4x^2+(a-3)x+1>0\) Pokud má nerovnice platit pro všechna reálná čísla, musí bý diskriminant záporný (kdyby byl kladný, existovaly by nulové body, v nichž by se měnila znaménka, kdyby byl roven nule, nastávala by i rovnost, což odporuje zadání)

\(D=(a-3)^2-16<0\ \Rightarrow\ (a-3+4)(a-3-4)<0\ \Rightarrow\ (a+1)(a-7)<0\)

Takže \(a\in(-1;7)\)

  1. nerovnice \(x^2-(a+2)x+4>0\), zase dikriminant menší než nula (stejné argumenty)

\((a+2)^2-16<0\ \Rightarrow\ (a+6)(a-2)<0\)

takže \(a\in(-6;2)\)

Obě podmínky musí platit současně: \((-1;7)\cap(-6;2)=(-1;2)\)

Souhlasí: 4    
Michaela M.
Michaela M.
07.01.2021 21:45:27

Ďakujem za ultrarýchlu odpoveď:) Takto vyzeral aj môj tretí pokus ale ja som stroskotala na úvahe, že Diskriminant nemá byť záporný...ale naopak...tak už teraz je to jasné...

Želám veľa energie do ďalších výpočtov a pomoci zúfalcom.

Michaela

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.