Linearni algebra a hledání ortonormani báze pomoci integrálu

Do komentáře přikladám výsledek pro kontrolu

Ahoj Dominiku,

abys mohl určovat úhly a délky, potřebuješ unitární prostor. V zadání jsi dostal vektorový prostor $V$ polynomů druhého stupně (tudíž $dim V=3$ ) a vnitřní produkt $(u,v)$ definovaný Riemannovým integrálem, takže podmínky jsou splněny.

Vezmeš si libovolnou bázi prostoru $V$, například $v=(1, x, x^2)$ a dál použiješ Gram-Schmidtovu ortogonalizaci, přes kterou vytvoříš z báze $v$ ortonormální bázi $e$

Spočítat $e_1$ je snadné, takže ukážu $e_2$ - nejdřív najdu vektor $w_2$, který je ortogonální k $e_1$ a pak ho upravím, aby jeho norma byla rovna jedné.

$w_2 = v_2 - (v_2, e_1) = x - \int_{ -1} ^{ 1} x \frac{ 1} { \sqrt{ 2} } dx = x - 0 = x$

$(w_2, w_2) = \int_{ -1} ^{ 1} x.x.dx = \frac{ 2} { 3}$

$e_2 = \frac{ w_2} { \sqrt{ (w_2, w_2)} } = \sqrt{ \frac{ 3} { 2} } x$

Identicky spočítej $e_3$ a máš ortonormální bázi na $P_2$

Ještě koukám, že mi tam utekl člen, platí $w_2 = v_2 - (v_2,e_1)e_1$, ale to bylo asi jasné, protože by to nedávalo smysl odečítat vektor a skalár.