Lineární operátor
Ahoj, mohl byste mi prosím někdo pomoci s touto úlohou?
Lineární operátor \(f\) na prostoru V = LO{ (1,3,-1,1), (0,1,-1,4)} , kde
\(V\subset\mathbb{ R} ^{ 4} \) splňuje \(f((1,3,-1,1)) = (1,2,0,-3),f((0,1,-1,4))\). Spočítejte \(f^{ n} ((7,17,-3,-9))\).
Jaroslava J.
15. 04. 2022 13:54
5 odpovědí
Omlouvám se, zapomněla jsem tam napsat, že obraz vektoru (0,1,-1,4) operátorem f je (0,-1,1,-4).
A kde jsi se zasekla?
Když si zvolíš bázi podprostoru \( V = span(v_1,v_2) \) jako \( v_1=(1,3,-1,1), v_2=(0,1,-1,4) \), umíš vyjádřit všechny vektory v zadání ve formě téhle báze?
Pak už jen stačí využít toho, že \( f \) je lineární operátor, takže \( f(x v_1 + y v_2) = x f(v_1) + y f(v_2) \) a zkus spočítat \( f^2 \), abys zjistila, že je periodický.
Určitě se nesnaž počítat matici zobrazení \( f \), to je těžké a zbytečné.
Úplně nechápu, co myslíte tou periodicitou. Já jsem si zvolila bázi \(B=(v_{ 1} ,v_{ 2} )\) jako generátory toho prostoru V, pak jsem je tím operátorem zobrazila a vyjádřila vzhledem k bázi \(B\). Tím jsem získala matici lineárního operátoru vzhledem k bázi \(B\) a \(B\). Aby se mi pak dobře určovala mocnina toho operátoru \(f\), tak jsem tuto získanou matici rozepsala pomocí diagonalizovatelnosti. Pak jsem si vyjádřila ten vektor \(v_{ 3} = (7,17,-3,-9)\) jako lineární kombinaci vektorů \(v_{ 1} \) a \(v_{ 2} \) a tuto lineární kombinaci jsem zobrazila, tedy jsem vlastně získala souřadnice vektoru \(v_{ 3} \) vzhledem k bázi B a pak jsem aplikovala vynásobila tou diagonalizovatelnou maticí. Přičemž mi tedy vyšlo, že výsledný obraz vektoru bude záviset na paritě voleného n. Poprosila bych o vysvětlení té periodicity, jak jste psal.
No jasně, to je správný postup, ale matici nepotřebuješ, když to nejdřív zkusíš spočítat.
Zvolíš si si bázi \( v_1=(1,3,-1,1), v_2=(0,1,-1,4) \), podprostor \( V = span(v_1, v_2) \)
Vektory ze zadání si vyjádříš jako lineární kombinace bazických vektorů a ze zadání spočítáš, že platí \( f(v_1) = v_1 - v_2 \) a \( f(v_2) = -v_2 \) a současně hledáme \( f^n(7 v_1 - 4 v_2) \)
Kdybys v tuhle chvíli našla matici \( f \) vůči téhle bázi, tak bys viděla, že je periodická, ale to nepotřebuješ. Jednodušší je zkusit si zobrazit vektor v zadání podle předpisu, co už jsme našli.
První mocnina \( f(7 v_1 - 4 v_2) = 7 f(v_1) - 4 f(v_2) = 7 (v_1 - v_2) - 4 (-v_2) = 7 v_1 - 3 v_2 \)
Druhá mocnina \( f^2(7 v_1 - 4 v_2) = f(7 v_1 - 3 v_2) = 7 (v_1 - v_2) - 3(-v_2) = 7 v_1 - 4 v_2 \)
Takže operátor je periodický, protože druhá mocnina operátoru je identita.
Z toho můžeš odvodit, že \( f^{ 2n} (v) = v \) a \( f^{ 2n+1} (v) = f(v) \) a máš to. Spočítat výsledné vektory jsou už zase jen lineární kombinace.
Děkuji Vám za jiný pohled na úlohu. Váš postup se mi zdá velmi elegentní, ale to mě nenapadlo.