Lineární operátor

Omlouvám se, zapomněla jsem tam napsat, že obraz vektoru (0,1,-1,4) operátorem f je (0,-1,1,-4).

A kde jsi se zasekla?

Když si zvolíš bázi podprostoru $V = span(v_1,v_2)$ jako $v_1=(1,3,-1,1), v_2=(0,1,-1,4)$, umíš vyjádřit všechny vektory v zadání ve formě téhle báze?

Pak už jen stačí využít toho, že $f$ je lineární operátor, takže $f(x v_1 + y v_2) = x f(v_1) + y f(v_2)$ a zkus spočítat $f^2$, abys zjistila, že je periodický.

Určitě se nesnaž počítat matici zobrazení $f$, to je těžké a zbytečné.

Úplně nechápu, co myslíte tou periodicitou. Já jsem si zvolila bázi $B=(v_{ 1} ,v_{ 2} )$ jako generátory toho prostoru V, pak jsem je tím operátorem zobrazila a vyjádřila vzhledem k bázi $B$. Tím jsem získala matici lineárního operátoru vzhledem k bázi $B$ a $B$. Aby se mi pak dobře určovala mocnina toho operátoru $f$, tak jsem tuto získanou matici rozepsala pomocí diagonalizovatelnosti. Pak jsem si vyjádřila ten vektor $v_{ 3} = (7,17,-3,-9)$ jako lineární kombinaci vektorů $v_{ 1}$ a $v_{ 2}$ a tuto lineární kombinaci jsem zobrazila, tedy jsem vlastně získala souřadnice vektoru $v_{ 3}$ vzhledem k bázi B a pak jsem aplikovala vynásobila tou diagonalizovatelnou maticí. Přičemž mi tedy vyšlo, že výsledný obraz vektoru bude záviset na paritě voleného n. Poprosila bych o vysvětlení té periodicity, jak jste psal.

No jasně, to je správný postup, ale matici nepotřebuješ, když to nejdřív zkusíš spočítat.

Zvolíš si si bázi $v_1=(1,3,-1,1), v_2=(0,1,-1,4)$, podprostor $V = span(v_1, v_2)$

Vektory ze zadání si vyjádříš jako lineární kombinace bazických vektorů a ze zadání spočítáš, že platí $f(v_1) = v_1 - v_2$ a $f(v_2) = -v_2$ a současně hledáme $f^n(7 v_1 - 4 v_2)$

Kdybys v tuhle chvíli našla matici $f$ vůči téhle bázi, tak bys viděla, že je periodická, ale to nepotřebuješ. Jednodušší je zkusit si zobrazit vektor v zadání podle předpisu, co už jsme našli.

První mocnina $f(7 v_1 - 4 v_2) = 7 f(v_1) - 4 f(v_2) = 7 (v_1 - v_2) - 4 (-v_2) = 7 v_1 - 3 v_2$

Druhá mocnina $f^2(7 v_1 - 4 v_2) = f(7 v_1 - 3 v_2) = 7 (v_1 - v_2) - 3(-v_2) = 7 v_1 - 4 v_2$

Takže operátor je periodický, protože druhá mocnina operátoru je identita.

Z toho můžeš odvodit, že $f^{ 2n} (v) = v$ a $f^{ 2n+1} (v) = f(v)$ a máš to. Spočítat výsledné vektory jsou už zase jen lineární kombinace.

Děkuji Vám za jiný pohled na úlohu. Váš postup se mi zdá velmi elegentní, ale to mě nenapadlo.