Řešení soustavy pomocí pseudoinverzní matice
Dobrý večer,
mám vyřešit soustavu lineárních rovnic pomocí pseudoinverzní matice. Vychází mi sice stejná čísla jako jsou vedena v řešení, ovšem s opačnými znaménky. Zadaná soustava:
\(\begin{ eqnarray}
-x_1+3x_2+x_3-x_4 & =-4\
x_1-x_2+x_4 & =2\
x_1+3x_2+2x_3+x_4&=-2
\end{ eqnarray} \)
Zde je můj postup řešení:
\(\begin{ pmatrix}
-1 & 3&1&-1\ 1 & -1&0&1\ 1&3&2&1
\end{ pmatrix}
\sim \begin{ pmatrix}
-1 & 3&1&-1\ 0 & 2&1&0\ 0&6&3&0
\end{ pmatrix}
\sim \begin{ pmatrix}
-1 & 3&1&-1\ 0 & 2&1&0\ 0&2&1&0
\end{ pmatrix} \
\sim \begin{ pmatrix}
-1 & 3&1&-1\ 0 & 2&1&0
\end{ pmatrix} → h(A)=2\
P=\begin{ pmatrix}
-1 & 3\ 1 & -1
\end{ pmatrix} → { P} ^{ -1} =\begin{ pmatrix} 1/2 & 3/2\ 1/2 & 1/2
\end{ pmatrix} → A^-=\begin{ pmatrix} 1/2 & 3/2&0\ 1/2 & 1/2&0\ 0&0&0\ 0&0&0
\end{ pmatrix} \
A^-B=\begin{ pmatrix} 1/2 & 3/2&0\ 1/2 & 1/2&0\ 0&0&0\ 0&0&0
\end{ pmatrix} \begin{ pmatrix}
-4\ 2\
-2
\end{ pmatrix} = \begin{ pmatrix} 1\
-1\ 0\ 0 \end{ pmatrix} \
A^-A=\begin{ pmatrix} 1/2 & 3/2&0\ 1/2 & 1/2&0\ 0&0&0\ 0&0&0
\end{ pmatrix} \begin{ pmatrix}
-1 & 3&1&-1\ 1 & -1&0&1\ 1&3&2&1
\end{ pmatrix} =\begin{ pmatrix} 1 & 0&1/2&1\ 0 &1&1/2&0\ 0&0&0&0\ 0&0&0&0\end{ pmatrix} \
A^-A-J=\begin{ pmatrix} 1 & 0&1/2&1\ 0 &1&1/2&0\ 0&0&0&0\ 0&0&0&0\end{ pmatrix} -\begin{ pmatrix} 1 & 0&0&0\ 0 &1&0&0\ 0&0&1&0\ 0&0&0&1\end{ pmatrix} =\begin{ pmatrix} 0 & 0&1/2&1\ 0 &0&1/2&0\ 0&0&-1&0\ 0&0&0&-1\end{ pmatrix} \
(A^-A-J)T=\begin{ pmatrix} 0 & 0&1/2&1\ 0 &0&1/2&0\ 0&0&-1&0\ 0&0&0&-1\end{ pmatrix} \begin{ pmatrix}
t_1\
t_2\
t_3\
t_4\end{ pmatrix} =\begin{ pmatrix}
\frac{ t_3} { 2} +t_4\
\frac{ t_3} { 2} \
-t_3\
-t_4\end{ pmatrix} \
X=\begin{ pmatrix} 1\
-1\ 0\ 0\end{ pmatrix} +\begin{ pmatrix}
\frac{ t_3} { 2} +t_4\
\frac{ t_3} { 2} \
-t_3\
-t_4\end{ pmatrix} =\begin{ pmatrix} 1\
-1\ 0\ 0\end{ pmatrix} +t_3\begin{ pmatrix}
\frac{ 1} { 2} \
\frac{ 1} { 2} \
-1\ 0\end{ pmatrix} +t_4\begin{ pmatrix} 1\ 0\ 0\
-1\end{ pmatrix} \)
Ve výsledcích je ovšem uvedeno následující (navíc mi to, co mi vyšlo, nesedí):
\(x=(1;-1;0;0)+s(-1;0;0;1)+t(-\frac{ 1} { 2} ;-\frac{ 1} { 2} ;1;0)\)
Někde tam mám chybu, ale už týden se snažím přijít na to, kde; možná, že dělám špatně i celý postup. Budu vděčný za jakoukoli odpověď.
Přeji hezký zbytek týdne
Miki
Miki R.
21. 03. 2023 21:12
1 odpověď
Čau Miki, hele, kromě zadání jsem nerozluštil, co píšeš, takže spíš obecně.
Když máš matici A s rankem nižším než jsou její rozměry, nebude pseudoinverze unikátní, tudíž ani řešení systému rovnic Ax=c nebude unikátní - za předpokladu, že je systém konzistentní a řešení existuje. A to platí, pokud je c ve sloupcovém prostoru A.
Výsledek, který dostaneš, bude záviset na volbě pseudoinverze G a nemusí se shodovat s oficiálním výsledkem, ale bude generovat stejnou množinu řešení.
Obecně platí, že pokud pseudoinverze A není unikátní, nebude ani řešení Ax=c unikátní, ale stále bude platit, že Ax je konstantní. Jinak řečeno, ačkoliv řešení unikátní není, projekce do sloupcového prostoru A unikátní je. Tohle je klíčový rozdíl proti soustavě, kde existuje unikátní inverze A.
Když jsem to počítal, tak jsem si zvolil levou horní podmatici A o velikosti 2x2 a spočítal její inverzi (to je snadné), zbytek matice jsem doplnil nulama a dostal pseudoinverzi G.
Množina všech řešení pak je \( x = Gc + (I - GA)z \) kde z je volná proměnná - a vyšel mi oficiální výsledek s otočenými znaménky u \( s,t \) - jinak vyjádřené řešení, ale stejná množina.
Když spočítáš pseudoinverzi, tak je dobré udělat kontrolu, musí platit AGA=A a GAG=G. Pak už je to jednoduché.