Úprava čitatele a jmenovatele v lomeném výrazu

Ahoj,

jde o to, jak jsou definované mocniny. Funguje to pak i na exponenty v podobě zlomků, ale pro názornost vysvětlím na celočíselných exponentech.

Když dostanu zadáno $9^5$, tak to pro mě znamená "vypočítej $1\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9$, tedy vynásob jedničku pětkrát devítkou.

Když si rozmyslím, že $9 = 3\cdot3 = 3^2$, tak to také znamená $1\cdot3\cdot3\cdots3\cdot3$, celkem 5 krát 2 trojky, tedy $3^{ 10}$.

Když si takovou představu udělám pro $3^2 \cdot 3^3$, tak dostanu, že to je $1\cdot3\cdot3 \cdot 1\cdot3\cdot3\cdot3$, tedy jedni4ka vynásobená dvěma a třemi, tedy celkem pěti trojkami.

Funguje to i pro záporné exponenty - záporný exponent pro mě znamená dělení, tedy $3^{ -3} = 1/3/3/3$, tedy vyděl jedničku třikrát trojkou.

Když si tohle všechno uvědomím, můžu to zformalizovat do několika vzorců:

$a^b \cdot a^c = a^{ b+c}$

$\left(a^b\right)^c = a^{ b\cdot c}$

a vlastně už zahrnutý doplněk

$a^b / a^c = a^{ b-c}$

Pak už zbývá jen to zapojení zlomků, které se taky dá vysvětlit celkem přímočaře... Jmenovatel ve zlomku v exponentu znamená odmocninu.

Představme si definici třetí odmocniny - $\sqrt[3]{ a} = b \Leftrightarrow b^3 = a$

To tedy znamená, že, když hledám, jak zapsat tu odmocninu exponentem, říká mi to $\sqrt[3]{ a} = a^{ x} = b$ a z předchozího tedy $b^3 = a$, tak to dle předchozího komentáře znamená, že $b^3 = a^{ x\cdot 3} = a$, tedy $x\cdot 3 = 1$, ergo $x = \frac{ 1} { 3}$.

Zbytek už funguje identicky jako s celočíselnými exponenty.

Děkuji, Ta první část mi byla jasná (tady opravdu blbého nakopni). Ta druhá je horší, ale asi to taky nějak zpracuju :)