Aproximace vektoru v podprostoru V (Spěchá)

Odchylka by měla vyjít zhruba 9.59745. A navíc mi vycházejí velice divné zlomky, které by vycházet neměly. Postup je z internetu, ale přijde mi, že funguje na pár specifických příkladů. Nemá někdo z vás lepší nápad jak to vypočítat. A poprosím konkrétněji, jelikož nejsem matematik :-))

Udělal jsem nejdříve skalární součin vektoru $a$ a vektoru $u$ a následně vzal jejich součet. Zbytek je už vidět podle výpočtu. Zítra dělám zkoušku a nevím jak na něj :(

Ten postup funguje jen pro ortonormální báze, a i tak je divný.

V obecném případě platí, že potřebuješ projekční matici do prostoru $\mathbb{ A}$. Když si vezmeš ty dva vektory, ze kterých generuješ lineární obal a dáš je jako sloupce do matice $A$, tak projekční matice bude mít tvar $P_{ \mathbb{ A} } = A (A^T A)^{ -1} A^T$ a $v = P_{ \mathbb{ A} } u$ bude nejbližší vektor k $u$, který je ve sloupcovém prostoru $A$.

Ale to bych na papíře nechtěl počítat :) Hodí se to ke kontrole výpočtu na počítači.

Ty potřebuješ využít větu o projekci na ortonormální bázi. Pokud je $(e_1, e_2)$ ortonormální bází $\mathbb{ A}$, tak platí $v = \left< u, e_1 \right> e_1 + \left< u, e_2 \right> e_2$

Nejdřív teda vezmi bázi $(x_1, x_2)$ a pomocí Gram-Schmidtovy ortogonalizace z ní vytvoř ortonormální bázi $(e_1, e_2)$.

Bude platit:

• $e_1 = \frac{ x_1} { \lVert x_1 \rVert }$

• $f_2 = x_2 - \left< x_2, e_1 \right> x_2$ a potom $e_2 = \frac{ f_2} { \lVert f_2 \rVert }$

Ve druhém kroku uděláš projekci vektoru na novou bázi, jak jsem popsal výše.

Typo: $f_2 = x_2 - \left< x_2, e_1 \right> e_1$