Matematická hádanka
Dobrý den, nastupuju na FJFI ČVUT do prváku, a krom toho že pilně opakuji, tak bych potřeboval pomoci s hádankou, která je ovšem složena z látky, která se probírá až v 1. a 2. semestru a skládá se z 6 příkladů. Každopádně hádanku bych chtěl vyřešit již nyní a rovnou se i k tomu něco přiučit. Poradí mi prosím někdo, i s odpověďmi k příkladům?
Děkuji :D
Teodor T.
03. 09. 2022 12:34
4 odpovědi
První, třetí, čtvrtou a pátou úlohu jsem již vyřešil, ale 1. a 6. úlohu absolutně netuším
Teda druhou, ne první.
Ahoj,
II.) Úloha se ptá na plochu rovnoběžníku daného souřadnicemi vrcholů. Za a, jež je všude stejné, můžeme dosadit \(0\) a omezit si dimenzionalitu problému. Dále si spočteme vektory, které definují strany (AB a AD). Obsah dostaneme jako
\(S = \left|\vec{ AB} \times \vec{ AD} \right|,\)
kde \(\times\) značí vektorový součin.
IV.) Je opět úloha na analytickou gometrii. Polohu zastávky si můžeme dát do bodu \([0,0]\), student se bude pohybovat po ose \(y\) a autobus po ose \(x\).
Poloha studenta tedy bude \(x_s = 0, y_s = -507 + 5t\), poloha autobusu bude \(x_a = -1014 + 12t, y_a=0\).
Jejich vzdálenost bude tedy v závislosti na čase bude \(s = \sqrt{ x_a^2 + y_s^2} \) - tady se nám projeví to zjednodušení fixací zastávky do počátku.
Vzdálenost pak už jen zderivujeme podle \(t\) a najdeme minimum funkce.
Ještě úloha VI, koukám...
Není to tam specificky řečeno, ale budeme předpokládat, že se bavíme o úseku \(x \in \left(0,\frac{ \pi} { 2} \right)\). Dále budeme předpokládat, že tabule je sice vysoká, ale "nejde pod zem", takže \(y > 0\). Poslední předpoklad je, že plocha ke smazání je pod zadanou křivkou, ne nad ní.
Pak už stačí "jen" spočítat integrál
\(S = \int_0^{ \frac{ \pi} { 2} } -\frac{ 2} { \pi} \ln(sin(x)) dx = \ln(2) \approx 0.693\)
Výsledek jsem převzal z wolframalpha.com (https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+from+0+to+pi…), ale předpokládám, že by šlo řešit nějakou substitucí a integrací per partes.