Matematická hádanka

První, třetí, čtvrtou a pátou úlohu jsem již vyřešil, ale 1. a 6. úlohu absolutně netuším

Teda druhou, ne první.

Ahoj,

II.) Úloha se ptá na plochu rovnoběžníku daného souřadnicemi vrcholů. Za a, jež je všude stejné, můžeme dosadit $0$ a omezit si dimenzionalitu problému. Dále si spočteme vektory, které definují strany (AB a AD). Obsah dostaneme jako

$S = \left|\vec{ AB} \times \vec{ AD} \right|,$

kde $\times$ značí vektorový součin.

IV.) Je opět úloha na analytickou gometrii. Polohu zastávky si můžeme dát do bodu $[0,0]$, student se bude pohybovat po ose $y$ a autobus po ose $x$.

Poloha studenta tedy bude $x_s = 0, y_s = -507 + 5t$, poloha autobusu bude $x_a = -1014 + 12t, y_a=0$.

Jejich vzdálenost bude tedy v závislosti na čase bude $s = \sqrt{ x_a^2 + y_s^2}$ - tady se nám projeví to zjednodušení fixací zastávky do počátku.

Vzdálenost pak už jen zderivujeme podle $t$ a najdeme minimum funkce.

Ještě úloha VI, koukám...

Není to tam specificky řečeno, ale budeme předpokládat, že se bavíme o úseku $x \in \left(0,\frac{ \pi} { 2} \right)$. Dále budeme předpokládat, že tabule je sice vysoká, ale "nejde pod zem", takže $y > 0$. Poslední předpoklad je, že plocha ke smazání je pod zadanou křivkou, ne nad ní.

Pak už stačí "jen" spočítat integrál

$S = \int_0^{ \frac{ \pi} { 2} } -\frac{ 2} { \pi} \ln(sin(x)) dx = \ln(2) \approx 0.693$

Výsledek jsem převzal z wolframalpha.com (https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+from+0+to+pi…), ale předpokládám, že by šlo řešit nějakou substitucí a integrací per partes.