Mocniny

Přeji pěkné odpoledne, Martino,

důležité především je, co je to devítkový zápis čísla.

Jedná se o sumu \(\sum_{ i = 0} ^{ n} a_i \cdot 9^i\), kde \(n \in \mathbb{ N} \) a \(a_i\) je pro každé \(i\) vždy nějaké přirozené číslo mezi \(0\) a \(9\).

Např. číslo \(232\) zapíšeme v desítkové soustavě jako

\(2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0\),

zatímco v devítkové soustavě jako

\(2 \cdot 9^2 + 7 \cdot 9^1 + 7 \cdot 9^0\)

V tuto chvíli je potřeba si uvědomit, co bychom obrdželi, pokud by se nám povedlo najít zbytek po dělení zadaného čísla \(7^{ 1629} \) číslem \(81\). Dostali bychom číslo, které by bylo možné zapsat jako \(a_1 \cdot 9^1 + a_0 \cdot 9^0\), což je rozvoj posledních dvou číslic v devítkové soustavě. Jelikož pro \(a_0\) a \(a_1\) existují striktní omezení, tedy musí to být přirozená čísla mezi \(0\) a \(9\), bylo by snadné hodnoty \(a_1\) a \(a_0\) najít. Jejich zřetězení \(a_1 \cdot 10^1 + a_0 \cdot 10^0\) by poté bylo řešením vaší úlohy.

Potřebujeme tedy vyřešit rovnici

\(7^{ 1629} \equiv a\) \((mod\) \(81)\),

kde \(a\) je neznámé přirozené číslo mezi \(0\) a \(80\).

V tuto chvíli můžeme využít Eulerovu větu, která praví, že pokud jsou dvě přirozená čísla \(a, n\) nesoudělná, pak v modulární aritmetice \(mod\) \(n\) platí relace kongruence:

\(a^{ \varphi(n)} \equiv 1\) \((mod\) \(n\)),

kde \(\varphi(n)\) je Eulerova funkce.

My víme, že \(7\) a \(81\) jsou nesoudělná čísla, tedy můžeme psát, že platí relace kongruence:

\(7^{ \varphi(81)} \equiv 1\) \((mod\) \(81\)).

Hodnotu \(\varphi(81)\) zde vypočtu pomocí vzorce pro rozklad na prvočíselné dělitele následovně:

\(\varphi(81) = 81 \cdot \Big( 1 - \frac{ 1} { 3} \Big) = 54\)

Platí tedy:

\(7^{ 54} \equiv 1\) \((mod\) \(81\)).

Nyní je třeba zjistit, kolikrát se \(54\) vejde do \(1629\).

\(\left \lfloor{ \frac{ 1629} { 54} } \right \rfloor \cdot 54 = 1620,\)

tedy víme, že

\(7^{ 1620} \equiv 1\) \((mod\) \(81\)).

Proto nám zbývá vyřešit rovnici

\(7^{ 9} \equiv a\) \((mod\) \(81)\),

Zde už snadno vypočítáme, že \(a = 55\).

Můžeme tedy psát \(55 = a_1 \cdot 9^1 + a_0 \cdot 9^0\)

Je zřejmé, že \(a_1\) zde bude výsledek celočíselného dělení \(55\) číslem \(9\) a \(a_0\) příslušný zbytek.

Platí tedy \(a_1 = 6, a_0 = 1\).

Zjistili jsme tedy, že poslední dvě číslice čísla \(7^{ 1629} \) v devítkové soustavě jsou \(61\).

Snad je to srozumitelné! Určitě se ozvěte, pokud je něco nejasné.

Ďakujem, moc ste mi pomohli, myslím, že teraz to už zvládnem.