Normální rozdělení náhodné veličiny

Ahoj, pro normální rozdělení jsou tabulky pravděpodobnosti, že hodnota bude dále od střední hodnoty než \(n\sigma\). Z toho lze dopočítat, kolik směrodatných odchylek od průměru jsou hodnoty -27 a -37. Pak už snadno průměr i směrodatnou odchylku určíme.

Pokud to nejsou tabulkové hodnoty, tipuju, že wolframalpha.com dokáže vyřešit integrální rovnici

\(p =\frac{ 1} { \sigma\sqrt{ 2\pi} } \int_y^{ \infty} e^{ -\frac{ x^2} { 2\sigma^2} } dx\)

kde x je integrační proměnná, p je zadaná pravděpodobnost, za \(\sigma\) můžeme dostadit pro jednoduchost 1 a y bude odpovídat vzdálenosti od střední hodnoty ve směrodatných odchylkách. Pro druhou pravděpodobnost budeme integrovat od \(-\infty\) do \(-y\).

Když teď ještě koukám na zadání, pro tu -37 je pravděpodobnost větší než 0.5, takže by výsledek mohl být matoucí. Doporučuji tedy otočit zadání - pravděpodobnost, že bude hodnota X větší než -37 je (1- ta zadaná pravděpodobnost) a použít stejnou integrální rovnici jako pro -27. Výsledek by měl být ale stejný, jen s opačným znaménkem.

Dostaneme: \(-27 = \mu + 1.2\sigma\) a \(-37 = \mu + 0.2\sigma\)

Tedy \(\sigma = 10\) a \(\mu = -39\).

Pro kontrolu:

\(\frac{ 1} { 10\sqrt{ 2\pi} } \int_{ -27} ^{ \infty} e^{ -\frac{ \left(x+39\right)^2} { 200} } dx = 0.115069\)

\(\frac{ 1} { 10\sqrt{ 2\pi} } \int_{ -\infty} ^{ -37} e^{ -\frac{ \left(x+39\right)^2} { 200} } dx = 0.5792597 \)

Děkuji za odpověď, tabulky mám také a chtěla jsem se zeptat, jak pomocí nich přijdu k hodnotě 1.2 σ a 0.2 σ, které jste dosazoval do soustavy rovnic. Nemůžu to v nich nikde najít. Předem děkuji za odpověď.

V tabulce na Wikipedii jsem tyhle hodnoty nenašel. Zadal jsem proto výše zmíněnou integrální rovnici do wolframalpha.com a obdržel ty hodnoty 1.2 a 0.2. Jelikož jsem použil rozdělení se střední hodnotou 0 a odchylkou 1, výsledné "y" bylo rovnou vzdálenost od středu v těch odchylkách.