Přihlásit se
Fórum
Katalog
Kurzy
Všechna videa
Články
Vaše úspěchy
Doučování
Nápověda

Vím, že objem kuželu je V = \(1/3Spv)= \(1/3r*v)\

Ale pokud si představíme obdélník (r2r) a do něj vepíšeme rovnoramenný trojůhelník se stranou r a výškou 2r, vidíme, že plocha obdélníku je r2r a plocha trojúhelníku je r*r. Plocha trojúhelníku je tedy polovina plochy obdélníku. Pokud nechám takový obrazec rotovat podle svislé osy, dostanu kužel a válec, jejichž objem by měl být tedy ve stejném vztahu. Nicméně my víme, že to není polovina, ale třetina. Proč? (Chápu, že ten vzorec vznikl integrací, ale přijde mi, že to je v konfliktu se selskou logikou).


Obtížnost: Základní škola
Pete V.

Pete V.

16. 01. 2020   14:23

3 odpovědi

Marek V.
Marek V.
16.01.2020 22:33:32

Ahoj Pete,

objem kuželu není 1/32πrv, ale 1/3pir^2v

jinak k té úvaze o tom rotačním kuželu a válci z obdélníku a trojúhelníku... Tím, že to rozrotuješ a přejdeš do 3D, tak se tenhle poměr změní.

Souhlasí: 1    
Tomáš B.
Tomáš B.
16.01.2020 23:17:15

Ona se ta selská logika dost často plete :-) a zrovna tohle je trochu těžší vysvětlit bez vyšší matematiky, kde je ten důvod hned vidět z důkazu.

Ve zkratce selský rozum naráží takhle. Na přímce si vezmu úsečku o délce L=1 a ptám se, jaký je její obsah na ploše. Odpověď je, že S=0. Tak si na ploše vezmu čtverec o obsahu S=1 a ptám se, jaký je jeho objem v prostoru. Odpověď je zase, že V=0.

A ty se teď ptáš, jak se bude lišit objem trojúhelníku a objem čtverce s dvakrát větším obsahem. Selský rozum napovídá, že když je obsah dvakrát větší, musí se to projevit čtyřikrát, jenže objem je pořád 0 a tahle cesta nikam nepovede.

Abys to udělal správně, tak si musíš kužel podélně rozřezat na menší části (budou to "skoro" válce) a sečíst jednotlivé objemy. Protože jsou to skoro válce, je jejich podstava daná vzorcem pi.r^2 a výšku zatím zanedbáme.

Navíc si představ, že kužel rozřežu tak šikovně, že poloměr válců bude skákat po jedné. Tím dostanu:

V = pi.1^2 + pi.2^2 + pi.3^2 + ... + pi.n^2 = pi.(1^2 + 2^2 + ... + n^2)

Součet té závorky má vzoreček a pro velké n to bude přibližně (n.n.2n)/6 = n^3/3

A tady vyskakuje ta jedna třetina, která se tam objevuje proto, že z plochy přecházíš do prostoru, kde dvourozměrné útvary mají vždy nulový objem.

Souhlasí: 1    
Jan K.
Jan K.
19.01.2020 03:58:51

Sklenice na víno má tvar rotačního kužele a je obrácena vrcholem dolů. Sklenice je do dvou třetin výšky

naplněna vínem. Jaká část objemu sklenice je prázdná (výsledek je zaokrouhlen na 2 desetinná místa?

Když si vypočítáš tenhle příklad, tak zjístíš 2 věci

a) Dobrý způsob, jak Tě můžou ošidit v hospodě

b) Většinu objemu kužele (nebo i jehlanu) tvoří objem v první třetině jeho výšky a byť Ti to na obrázku může připadat, že ten kužel se tam nevleze ani dvakrát, natož 3krát, tak guess what, vleze

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.