Obsah, lok.extrém, objem

viz níže:

Třetí úloha

Počítáme objem vzniklý rotací křivky \( y=\sin(x) \) kolem osy \( x \) v daném intervalu, tj.

\( \displaystyle V=\pi \int_0^\pi \sin^2(x){ \phantom{ .} } dx \)

Použijeme vzorec z goniometrie

\(\displaystyle \sin^2x=\frac{ 1-\cos 2x} { 2} \)

Neurčitý integrál

\( \displaystyle\int \sin^2(x){ \phantom{ .} } dx= \int \frac{ 1-\cos(2x)} { 2} { \phantom{ .} } dx\)

rozdělíme na dva

\( \displaystyle\int \frac{ 1} { 2} { \phantom{ .} } dx-\int \frac{ \cos(2x)} { 2} { \phantom{ .} } dx\)

V druhém integrálu provedeme substituci \( u=2x \), tedy \(x=\frac{ u} { 2} , dx=\frac{ 1} { 2} du\) a máme

\( \displaystyle \int \frac{ \cos(2x)} { 2} { \phantom{ .} } dx=\int \frac{ \cos(u)} { 2} { \phantom{ .} } \frac{ 1} { 2} du=\frac{ 1} { 4} \int \cos(u){ \phantom{ .} } du=\frac{ \sin(u)} { 4} =\frac{ \sin(2x)} { 4} \)

Integrováním (celého) dostaneme

\( \displaystyle \frac{ 1} { 2} x- \frac{ \sin 2x} { 4} \)

Po dosazení mezí vyjde \(\frac{ \pi} { 2} \), tj. objem je

\( \displaystyle V=\pi \frac{ \pi} { 2} =\frac{ \pi^2} { 2} \)

viz níže:

Ten povrch znovu, u = ( 1 + 9 * x ^ 4 ) , du = 36 * x ^ 3 * dx