Odvození vzorce pro vzdálenost bodu od přímky
Ahoj, chtěl bych poprosit, jestli mi někdo dokážete vysvětlit poslední krok v odvození vzorce pro vzdálenost bodu od přímky pomocí skalárního součinu. Popsal jsem to raději ručně, viz přílohu.
Mám dán bod \(A\) a přímku \(p\) pomocí obecné rovnice. Znám tedy souřadnice \([a_1,a_2]\) a normálový vektor přímky \(a,b\). Bod \(Q\) je jen teoretický bod, jehož souřadnice neznám. Ta poslední úprava je ve skriptech popsána slovy po roznásobení čitatele a jeho drobné úpravě, ale úplně mi uniká, jak k té drobné úpravě dospěli. Vysvětlíte mi to někdo?
Otula A.
17. 11. 2023 20:53
6 odpovědí
Jejda, teď se dívám, že jsem tam zmastil rozepsání vektoru \(\vec{ QA} \), protože to má být samozřejmě naopak, tedy \((a_1-q_1,a_2-q_2)\), ale není to věc, která by situaci zásadně změnila...
Protože bod \(Q\) leží na přímce \(p\), tak platí \(aq_1+bq_2=-c\)
Stačí roznásobit závorky.
Ufff. Jasně, je to vlastně úplně jednoduché, ale vůbec mi to nedošlo. Mockrát díky!
Taky bacha na to, kde je vektor a kde je skalar, takhle ten zapis nedava smysl.
Ma to byt \( || QA_{ kp} || = \frac{ |QA.n|} { ||n||} \)
@Tomáš B.: Jasně, to chápu, jen si musím dávat pozor, co píšu :-)
Viz níže :
jako cosinový průmět "šikmého" vektoru (A-Q) do vektoru normály n= (A-N) a cos toho potřebného úhlu je skalární součin jednotkových vektorů nj * (A-Q)j , čímž se ten výraz dost zjednoduší , protože velikost (A-Q) figuruje "nahoře " i "dole" a vyruší se a tak to nakonec je součin "šikmého" vektoru a jednotkového vektoru normály.
Ale lepší je druhý způsob, funguje v jakémkoliv E(N) prostoru i v E(2) a nepotřebujete vzorečky, naopak tenhle způsob se vzorečky nejde v E(3) a výše použít.
