Vektorový podprostor

Pro zjištění, jestli je množina vektorový prostor, musíš ověřit, že platí všechny axiomy týkající se tělesa, a že množina splňuje definici vektorového prostoru.

Protože $\mathbb{ R} ^n$ je vektorový prostor, nemusíš ověřovat axiomy týkající se tělesa, stačí zjistit, jestli (a) $S$ obsahuje nulový vektor, (b) $S$ je uzavřená na sčítání vektorů, (c) $S$ je uzavřená na násobení vektoru skalárem

(a) $0 = (0, ...0)$ a $\sum^n 0 = 0$ takže $0 \in S$

(b) pro $u, v \in S$ platí $\sum^n u_i + v_i = \sum^n u_i + \sum^n v_i = 0 + 0$ takže $u + v \in S$

(c) pro $u \in S$ platí $\sum^n \lambda u_i = \lambda \sum^n u_i = \lambda 0 = 0$ takže $\lambda u \in S$