Periodicky rozvoj při dělení
Dobrý den, rád bych se zeptal, a možná je to i zajímavý námět na video, čím je způsobeno následující.
V práci jsme náhodou narazili na zajímavou záležitost a sice že pokud vezmeme libovolné číslo delitelně pěti a odečteme od jen jedno promile toho samého čísla a výsledkem vydělíme jakékoliv jiné číslo tak výsledek má vždy periodický rozvoj. Čím je to způsobeno a jak matematiky vysvětlit/dokázat že to tak je a proč? Děkuji
Petr T.
09. 04. 2021 18:52
4 odpovědi
Takže si třeba vezmu 15
\( 15-0.001*15=14.985 \) a zjevně platí \( \frac{ 14985} { 14.985} =1000 \)
V obecném případě platí, že každé racionální číslo má buď konečný nebo periodický rozvoj, https://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal#Every…
No tak to že to neplatí pro to samé číslo a jeho násobky 10ti my přijde jasné a přišlo mi zbytečné to psát a zbytečně to komplikovat...
Takže tohle je taky asi jasné, ne? \( \frac{ 2997} { 14.985} =200 \) Jednoduše, když dělím 3 číslo, co není dělitené 3, vyjde perioda, stejné platí i pro 111.
Zdravím.
Otázka: "Čím je to způsobeno a jak matematiky vysvětlit/dokázat že to tak je a proč?"
Není to tak a ukážu proč.
Mějme číslo dělitelné pěti, můžeme ho napsat jako \(x=5k\), \(k\in \mathbb N\). Odečteme-li od něj jedno promile, dostaneme číslo \(5k\cdot\frac{ 999} { 1000} =\frac{ 999k} { 200} \)
Tvrdíte, že výše zmíněná vlastnost platí pro všechna (přirozená) čísla, (s výjimkou násobků deseti čísla \(x\)). Vezmeme tedy jiné číslo, ve tvaru \(y=999n, n\in\mathbb N\).
Potom \(\frac yx=\frac{ 999n} { \frac{ 999k} { 200} } =200\frac nk\). Jestli bude mít tento zlomek nekonečný desetinný rozvoj, závisí (mimo jiné) na konkrétním poměru \(\frac nk\).
Takže vaše tvrzení neplatí. Existuje nekonečně mnoho čísel, která nebudou po dělení mít nekonečný desetinný rozvoj.