Periodicky rozvoj při dělení

Takže si třeba vezmu 15

$15-0.001*15=14.985$ a zjevně platí $\frac{ 14985} { 14.985} =1000$

V obecném případě platí, že každé racionální číslo má buď konečný nebo periodický rozvoj, https://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal#Every…

No tak to že to neplatí pro to samé číslo a jeho násobky 10ti my přijde jasné a přišlo mi zbytečné to psát a zbytečně to komplikovat...

Takže tohle je taky asi jasné, ne? $\frac{ 2997} { 14.985} =200$ Jednoduše, když dělím 3 číslo, co není dělitené 3, vyjde perioda, stejné platí i pro 111.

Zdravím.

Otázka: "Čím je to způsobeno a jak matematiky vysvětlit/dokázat že to tak je a proč?"

Není to tak a ukážu proč.

Mějme číslo dělitelné pěti, můžeme ho napsat jako $x=5k$, $k\in \mathbb N$. Odečteme-li od něj jedno promile, dostaneme číslo $5k\cdot\frac{ 999} { 1000} =\frac{ 999k} { 200}$

Tvrdíte, že výše zmíněná vlastnost platí pro všechna (přirozená) čísla, (s výjimkou násobků deseti čísla $x$). Vezmeme tedy jiné číslo, ve tvaru $y=999n, n\in\mathbb N$.

Potom $\frac yx=\frac{ 999n} { \frac{ 999k} { 200} } =200\frac nk$. Jestli bude mít tento zlomek nekonečný desetinný rozvoj, závisí (mimo jiné) na konkrétním poměru $\frac nk$.

Takže vaše tvrzení neplatí. Existuje nekonečně mnoho čísel, která nebudou po dělení mít nekonečný desetinný rozvoj.