Počítání nekonečných řad stejných čísel

Ahoj, video jsem asi někdy dříve viděl, ale už si ho přesně nepamatuju. Tak to zkusím po svém:

Ono reálně platí, že

\(lim_{ N \to \infty} \sum_{ i=1} ^{ N} 9\times 10^{ -i} = 1\)

Z definice limity: Pro libovolně malé \(\varepsilon > 0\) existuje \(M\) takové, že \(\sum_{ i=M} ^{ \infty} 9\times 10^{ -i} < \varepsilon\).

Tedy nekonečný desetinný rozvoj \(0.999\cdots\) limitně opravdu odpovídá jedničce.

@Jan: No jo, jenže limita není pravá hodnota. Také jsem na to narazil, a to tvrzení je, že nejen že se to blíží 1, ale že to je jedna. Jedno z vysvětlení, že 10x=9,999999=9+0,999999=9+x, tedy x=10-9=1

Já bych si s tím hlavu nelámal, pro mě bude vždy 1>0,999999 :-) Pokud někdo tvrdí opak, tak může šlapat na konec té periody, až k té jedničce dojde :-)

Otázka je tedy nasnadě... Když se dvě čísla nerovnají a nebavíme se o nekonečnech, můžu spočítat jejich rozdíl.

Kolik je tedy \(1 - 0.999\cdots\) ?

Přece číslo 0,0000...., které má "na konci" v nekonečnu 1 :-)

A co třeba, když vezmu třeba číslo 0.12345 a budu tu pětici odsouvat do nekonečna samými devítkami. Je to jedna, nebo není? Také ten rozdíl nedokážu vyčíslit. Myslím, že problém je v tom, že nekonečno není číslo, ale pouze abstrakt.

Abych nemusel zabíhat do ošklivých zákoutí matematiky, tak zkusím pár jednoduchých úvah, schválně, kam se dostaneme.

Vezmeme si uzavřený interval [0, 1] na reálných číslech. To je množina, která obsahuje 0 jako svůj nejmenší prvek, taky obsahuje 1 jako svůj největší prvek a pak všechna reálná čísla mezi nimi.

Když z téhle množiny odstraníme číslo 0 a číslo 1, dostaneme otevřený interval (0, 1), což jsou všechna reálná čísla mezi 0 a 1. Vlastností otevřeného intervalu je, že nemá nejmenší ani největší prvek.

Patří číslo \( 0.99\overline{ 9} \) do otevřeného intervalu (0, 1)? Pokud ano, tak nemůže být jeho největším prvkem (protože by nebyl otevřený) a musí tam být nějaké větší číslo. Jak takové číslo vypadá? Navíc ani tohle větší číslo nemůže být největším prvkem intervalu, musí tam být ještě větší číslo. Jak vypadá? A co je horší, takových čísel tam musíme najít nekonečně mnoho. Jak vypadá nekonečně mnoho čísel větších než \( 0.9999999999... \)?

Alternativou je, že \( 0.99\overline{ 9} \) v intervalu není. Jenže jediné číslo, které jsme odstranili, je číslo 1. Potom by muselo platit \( 0.99\overline{ 9} \) = 1

Nechám na čtenářích, aby si vybrali, která možnost vypadá jako ta správná :)

Úvahu, že na reálných číslech můžu spočítat 1 - \( 0.99\overline{ 9} \) = 0.000.....0001, můžeme snadno rozbít matematickou indukcí.

Z principu matematické indukce plyne, že když si vezmu množinu obsahující číslo nula a budu do ní pustupně přidávat prvky s vlastností "býti nulou", tak dostanu množinu obsahující pouze nulu.

Kdyby existovalo reálné "číslo složené ze samých nul a na konci jednička", můžu postupně konstruovat množiny { 0} , { 0, 0.0} , { 0, 0.0, 0.00} , { 0, 0.0, 0.00, 0.000} , ... a někde "na konci" bych našel množinu obsahující dva prvky: { 0, "číslo složené ze samých nul a na konci jednička"} .

Důsledkem takového nálezu by mimo jiné bylo, že existuje přirozené číslo, které je konečné a současně větší než "nekonečno".

Jak jsem psal, školy na to nemám. Proto se zeptám. Je možné dělit a násobit nekonečnou řadu stejných čísel za desetinnou tečkou nebo na to existuje nějaké pravidlo, že se s tím už další výpočty nedělají? Kdybych třeba začal sčítat 0.3333.... tak bych spočítal, že tři třetiny nejsou jedna, ale 0.9999... Ale to si myslím, je jenom špatným postupem. Přijde mi, že když chci spočítat 3/3 tak prostě pokrátím ty trojky a nebudu sčítat nebo násobit 0.3333...

Tomáš B.

Když z toho intervalu odstraním i 0.99999.... jaké bude v intervalu největší číslo?

Skoro bych řekl, že položená otázka je svým zaměřením spíše filozofická než matematická. Matematicky je věc totiž jasná, dokázaná a tudíž platná. Otázkou pak ale asi zůstává, jak si tento fakt přebereme vlastní myslí. V jednom velmi populárním vědecko-fantastickém seriálu pronesla postava reprezentující Leonarda da Vinciho toto: "Pokud někdo ve své fantazii nedokáže najít odpověď na otázku, tak musí použít ještě více fantazie". A právě matematika je toho podle mě důkazem. Někdy člověku prostě omezení ve způsobu jeho logiky vymezují určitý prostor a k překročení jeho hranic je zapotřebí právě té fantazie. Mě do dneška fascinuje, že geniální matematici minulosti byly schopni rozvíjet myšlenky současného poznání a vymyslet něco nového a využili své fantazie a hranice poznání rozšířili. V tomto konkrétním případě jde o problém nekonečných řad. My, jako lidstvo, máme vlastně jenom zkušenosti s konečným počtem a v tom podle mého tkví celý problém. Koncept nekonečna je totiž něco abstraktního a tudíž je to závislé na představivosti. A představit si za sebou nekonečnou řadu devítek nebo trojek je sakra těžké. Já osobně na to třeba nemám, a tak musím provést nějaký úkrok, myšlenkový nadhled apod., abych si to ujasnil. Ono už třeba jenom to, že když budu k sobě neustále přičítat polovinu z přechozího čísla, přičemž začnu od té jedné poloviny, tak se nakonec u nekonečného počtu sčítanců dostanu k jedničce, je vlastně věcí fantazie. Jasně, můžu si nakreslit kruh a neustále jednu půlku z přechozí půlky půlit, ale to do nekonečna nakreslit nejde, takže nakonec jsem stejně jenom odkázán na vlastní fantazii. Čili, nemůžu na to jít tak říkající napřímo, ale nějakou oklikou. Tudíž, když vidím, že ty devítky tvoří nekonečnou řadu a já nejsem schopen nijak na její konec dohlédnout, nezbývá mi než použít nástroje, které to "dokážou". V našem případě se jedná o poznání, které máme o nekonečných řadách a to nám říká, za jakých podmínek se co čemu rovná.

Zkusim zapojit fantazii. Když jde nekonečná řada devítek násobit deseti, jde i dělit deseti? Jaký bude výsledek?

No, já tu fantazii myslel tak, že je skutečně legitimní mít problém s tím, že 0,9 periodických je 1. Ale, právě proto potřebujeme tu fantazii, která nám dovolí se s tím vypořádat. Co se týče dělení 10, tak na to se můžeme dívat čistě jako na pusunutí desetinné čárky doleva...

Takže se před nekonečnou řadu devítek dá nula a tím se nekonečná řada prodlouží o jedno místo?

Můžete se na to dívat tak, že slovo "nekonečný" nám vlastně říká, co se děje na konci (tedy že na konci paradoxně nemá konec), ale už vůbec nic o tom, co se děje na začátku. Takže ano, klidně můžeme na začátek nekonečné řady přidávat libovolný počet míst, ale na konci se vlastně nic nezmění - pořád bude nekonečná. Takže vlastně není ani možné uvažovat o tom, že by se o jedno místo prodloužila - bude pořád nekonečná. V našem případě se vlastně dělením 10 dosáhlo toho, že máme 0,0999999..., což se rovná 0,1. Čili, můžeme třeba říci, že číslo 0.099999.... je desekrát menší než 0.99999..., ale rozhodně nemůžeme vůbec hovořit o počtu desetinných míst - těch je pořád nekonečno. Prostě, na nekočnost nelze uplatňovat logiku konečného uvažování - nedává to smysl. Musí se použít logika nekonečného uvažování - tedy zapojit fantazii, protože na to není nějaká praktická ukázka.

Nerad bych to zamluvil, tak to zopakuji. Jaké je nejbližší menší číslo pod 0,999.......?

Já Vám k tomu bohužel více napsat nemohu. Mám pocit, že Vám ani tak nejde o matematický důkaz, jako spíše o to, abyste si v hlavě vytvořil model, jak to funguje. Ale otázka "Jaké je nejbližší menší číslo pod 0,999.......?" je smysluplná v konečném počtu čehokoliv, ale v nekonečném postrádá smysl. Ano, je to legitimní dotaz, ale nemá žádný význam.

Nebo to zkusím ještě takto. Je to jenom o tom, si připustit, že 0,9999.... je jedna. Protože zápis 3/3 = 1 je úplně stejný jako 3/3 = 0,99999... Třeba číslo 6 taky můžeme psát jako 3+3, pořád to bude 6. Číslo 1 lze tedy psát jako 0,9999..... Je to jedno a to samé. Jenom ta jednička je asi praktičtější....

Aha. Ptám se proto, že někdo psal, že odstraní z limity 1 a pod ní je ta 0,999... Tak se ptam co je pod tou 0,999.... když bych jí odstranil.

jak Jan Z., tak i Tomáš B. se snaží v podstatě metodou důkazu sporem dokázat, že se nejedná o dvě různá čísla, ale o totéž číslo. A právě proto jsem začal psát o té fantazii. Je to totiž závislé od toho, jak si to člověk dokáže představit. Upřímně řečeno, teorie množin mě nikdy moc nezajímala a nevím o ní vlastně nic, takže nedokáži přesně popsat efekty nekonečných množin, ale to, že lze s číslem 0,99999... zacházet relativně intuitivně (tedy, co se dělení, násobení, ščítání apod. týče), je zásluha toho, že se jedná o konvergetní geometrickou řadu, která má navíc tu výhodu, že ji lze i sečíst. Hledat nejbližší nižší číslo je Sisyfovská práce - to je úkol, který nelze splnit, a proto Tomáš B. zvolil tento příměr. A proto i ta fantazie - musíte si to nějak představit...

Problém, je v tom, že v drtivé většině případů, kdy se někdo hádá, že \( 1 \) není to samé jako \( 0.999... \), tak neví (není schopen říci), co je \( 0.999... .\) Je to, jako kdybych si myslel číslo (které jsem si pojmenoval Brumla) a někdo se mnou hádal, jestli se Brumla rovná \( 7 \) nebo ne. Potíž je v tom, že číslo Brumla nikdo nezná narozdíl od nekonečných desetinných rozvojů, které lidé chápou ale jen intuitivně, tak jak jsou zvyklí již ze základní školy, kde to většinou poprvé vidí a pak nesčetněkrát poté. I úpravy typu \( 3*0.111... = 0.333..., 0.27777... - 0.077777... = 0.2\) (při převodu číslo do zlomku) se na střední provádí bez jakéhokoli hlubšího zdůvodnění či komentáře; další utvrzení, že na číslech typu \( 0.5555...\) není nic divného, počítá se s nimi standardně. Samozřejmě definovat \( 0.999...\) jako "nula celá a nekonečně mnoho devítek", je nesmysl, a nic to samo o sobě neznamená, protože použivá nedefinované pojmy; co to znamená nekonečně mnoho devítek v desetinném zápisu? Definice, která funguje, je ztotožnit symbol \( 0.999... \) s limitou posloupnosti \( 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ...\), t.j. číslo, ke kterému se tato posloupnost nějakým členem přiblíží na libovolně malou (kladnou) vzdálenost (a další členy se už od něj o více nevzdálí). Je zřejmé, že v tomto případě je touto limitou číslo \( 1 \).

@Martin S.: Ano, taková posloupnost se limitně blíží jedné, to určitě nikdo nerozporuje. Jen by mě zajímalo, odkdy obecně platí rovnost mezi limitou v daném (byť nevlastním) bodě a hodnotou v daném bodě...

Pokud je číslo 0.99999.... definováno jako posloupnost, kdy se donekonečna přičítají desetiny předchozího členu, tak to nikdy nebude 1. Pokud někdo vyplivne podobné číslo jako nepřesnou interpretaci trojnásobku racionálního čísla \(\frac{ 1} { 3} \), tak potom to jedna je, ale jen z toho důvodu, že někde v nekonečnu nám chybí ta nekonečně malá jednička.

Existuje jev, kterému říkáme sympatetická magie. Jedná se o (mylnou) představu, že reprezentace objektu a objekt jsou jedno. Člověk se pak snaží změnit samotný objekt pomocí manipulace s jeho reprezentací.

Když narýsujeme čtverec, existuje vztah mezi délkou jeho strany a jeho úhlopříčky. Vztah platí bez ohledu na to, o jaký čtverec se jedná a vyjadřujeme ho pomocí symbolu \( \sqrt{ 2} \). Podobný vztah najdeme u každého kruhu, kde vždy existuje jistý vztah mezi jeho průměrem a obvodem, ten označujeme symbolem \( \pi \).

Je důležité si uvědomit, že \( 1, \sqrt{ 2} , \pi \) jsou symboly pro čísla, ale nejsou čísly samotnými. V tomhle smyslu není nekonečno o nic víc abstraktní nebo konkrétní, než libovolné číslo. Čísla jsou pro nás konkrétní jen díky tomu, že je v moderní (axiomatické) matematice umíme definovat včetně pravidel pro symbolickou manipulaci. V tomhle smyslu ale umíme celkem komfortně pracovat i s nekonečnem.

Navíc tam, kde se objevuje nekonečno, začnou se dít divné věci a intuice (nebo fantazie) se skoro vždycky plete. Umíme porovnávat nekonečné množiny, umíme je sčítat, umíme sestrojit množiny, které nemají velikost, umíme rozdělit množinu a složit zpátky tak, že dostaneme větší množinu. Ve zkratce, existují mnohem divnější čísla, než zrovna \( 0.\overline{ 9} \).

Desetinný zápis čísla je zkratka, formálně pod ním chápeme nekonečnou řadu. \( 0.a_1a_2a_3... = \sum_{ i=1} ^{ \infty} a_i10^{ -i} \)

Číslo \( 0.\overline{ 9} = 9.10^{ -1} + 9.10^{ -2} + 9.10^{ -3} + ... \) intuitivně vypadá, že musí být menší než 1, asi proto má tolik lidí problém akceptovat jejich rovnost. Navíc část matematiky, která tuhle symboliku zdůvodňuje, už není snadno přístupná.

Dva tradiční přístupy pro zavedení reálných čísel jsou Teorie řezů a Teorie množin.

V řezech se zavádí reálná čísla na základě dělení množiny racionálních čísel a symbol \( 0.\overline{ 9} \) se volí jako identický k 1, aby byl systém konzistentní. V Teorii množin k definici používáme ekvivalenční třídy Cauchyovských posloupností, ze kterých snadno plyne rovnost \( 0.\overline{ 9} = 1 \).

V tom případě se bavíme o zdůvodnění, proč by rovnost měla platit, ale nepotřebujeme ji dokazovat. Ke zdůvodnění použijeme limity posloupností reálných čísel, takže nejdřív důležitá věc.

Zápis \( \lim_{ n \to \infty} a_n = A \) je zkratkou pro větu v predikátové logice \( \forall \epsilon>0 (\exists n_0 \in \mathbb{ N} (\forall n \in \mathbb{ N} (n > n_0 \Rightarrow \left| a_n - A \right| < \epsilon))) \). Přesně tohle to znamená a nic víc. Cokoliv dalšího je minimálně omezená a potenciálně chybná interpretace výroku.

Interpretace limity \( 0.\overline{ 9} = \lim_{ n \to \infty} \sum_{ i=1} ^{ n} 9.10^{ -i} = 1 \) říká, že sumu uvnitř můžeme libovolně přesně přiblížit k číslu 1 za použití výpočtu v konečném počtu kroků. Z hustoty reálných čísel potom plyne, že oba symboly označují jedno a to samé číslo, jinak bychom dostali spor. Postupné sčítání členů řady ale není limitou ani samotnou řadou.

Teď můžu odpovědět kolegovi, kterého zajímá "rovnost mezi limitou a hodnotou v daném bodě".

Limity často interpretujeme ve formě konečných operací, ale to neznamená, že tím popisujeme zkoumaný objekt, ten má transfinitní charakter. Nekonečná řada není postupné sčítání. Jedná se o jedno specifické číslo, jehož existenci zajišťuje úplnost reálných čísel. Takže tvrdit, že se číslo 1 samo k sobě přibližuje, ale nikdy se nedosáhne, to je jen sympatetická magie.

Pro zájemce bych doporučil přečíst si něco o Teorii řezů, je o hodně jednodušší než Teorie množin, ale tam se navíc dozvíte, jakým způsobem umí moderní matematika zacházet s nekonečnem. Ohledně chápání podstaty čísel je zase skvělá Abstraktní algebra, kde se studuje, proč počítání funguje jak funguje :)

Pro mě osobně byl před mnoha lety velký aha! moment v Lineární algebře, když jsme brali duální vektorové prostory.

Asi zatím poslední otázka. Bylo tu napsáno, že hledání nejbližšího menšího čísla pod 0.999.. tedy asi i 1 je nesmysl. Pak se tu psalo, že v limitě mezi 0 a 1 je nekonečně mnoho čísel 0,...... Jestli to správně chápu, tak z nich dokážu napsat a případně dál nějak použít jenom nepatrnou část. Umíme napsat nejbližší vyšší číslo nad 0? Nebo od jakého vyššího čísla nad 0 to umíme?

Reálná čísla mají několik zajímavých vlastností.

1. jsou hustá, to znamená, že můžeme pro libovolná reálná čísla \( a < b \) najít třetí číslo \(x\), aby platilo \( a < x < b \); v důsledku můžeme najít nekonečně mnoho reálných čísel mezi \( a < b \)

2. reálných čísel \( x \) na každém intervalu \( (a,b), a < b \) je stejně jako všech reálných čísel

Takže nejmenší číslo větší než 0 neexistuje.

Stačí vytknout 9 a dostaneme v závorce geometrickou řadu s kvocientem 1/10 a pak napsat výraz pro součet N členů a vyřešit limitu, když N jde k nekonečnu suma (1/10)^N = součet členů geometrické řady, takže vzít vzoreček pro N prvních členů a v limitě položit N jde k nekonečnu a po úpravách vyjde že limita = 1/9, což je hodnota té závorky, a protože před závorkou již bylo vytknuto 9, tak potom 9 * závorka = 9 * 1/9 = 1, čímž je vše dokázáno.

Milý Tomáši, přesně, jak píšete, tvrdit, že reprezentace objektu a objekt jsou jedno, je sympatetická magie. Tedy například tvrdit, že \(\frac{ 1} { 9} =0,11111...\) jsou přesně totéž. To periodické číslo je pouhá aproximace, která, ač může být zapsána, či jen v mysli představována se sebevětší přesností, nikdy nebude mít přesnost absolutní, protože v té chvíli už by nebylo potřeba pokračovat. Ale to číslo nikdy nelze tímto způsobem zapsat přesně, protože to prostě přesně stejné číslo není. Můžete až do konce našeho vesmíru přidávat na konec další jedničky, zahltit jimi celý vesmír či všechny vesmíry co si kdo dokáže představit, ale stále nedosáhnete přesně té \(\frac{ 1} { 9} \), stejně jako devítinásobek nedosáhne čísla 1.

Protože jsem nikdy podobnou matematiku nestudoval, tak mi některé věci přijdou spíše jako hříčky, které nemají s reálným světem moc společného. Když v reálném světě rozdělím něco na tři přesně stejné díly, tak tam nikdy nebude nekonečná řada čísel. Pro jednoduchost bych zůstal u nedělitelnosti atomů. Objem a hmotnost těch tří dílů bude přesně definovaná množstvím atomů a při vhodně zvolených jednotkách se tam nikdy nevyskytne nekonečná řada čísel. Matematiku chápu jen jako pomůcku pro vnímání světa, kterou si lidi přizpůsobili podle sebe.

@Otula

Podle Axiomu nekonečna to jde :)

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity#Formal…

@Konrád

Částečně je to pravda a velká část teoretické matematiky je svět sám pro sebe, ale jsou tam i praktické implikace. Integrální počet stojí na hrátkách s nekonečnem a na tom, co kolega výše tvrdí, že nejde. Integrály se používají ve všemožných aplikacích od fyziky a chemie až po EEG nebo obchodování na burze.

@Tomáš

To, že se matematici na něčem dohodli, je jedna věc. Stejně tak se dohodli na tom, že \(0! = 1\) - což si nestěžuji, je to skvělá dohoda, která nikomu nepřekáží, má samá pozitiva, protože když na to například nahlížíme jako na počet možných permutací prázdné množiny, máme právě jednu možnost, stejně tak třeba Taylorova věta by bez této dohody byla krkolomnější. Ale když budu na základě toho tvrdit, že když budu násobit nulu se všemi přirozenými čísly menšími než nula, tak mi vyjde jedna, tak plácám naprosté kraviny... Takže jo, dokážu vaše tvrzení přijmout jako dohodu, ale ne jako realitu.

A jen tak mimochodem, integrální počet stojí na diferenciálním počtu, tedy na limitách. Přičemž jsem nezpochybňoval, že nekonečná posloupnost 0,999... má limitu 1. Ale, jak známo, limita neříká, jaká je skutečná hodnota v daném bodě. Pokud by platila rovnost, tak limity z velké části ztratí svůj smysl. A přestalo by se psát, že limita něčeho pro x jdoucí do nekonečna rovná se něčemu, ale psalo by se, že to něco se v nekonečnu něčemu rovná. Proč už tomu tak není, když je přece nad slunce jasné, že to platí?

Existuje nějaká podobná stránka s fyzikou? Chtěl bych se zeptat na něco ohledně jaderné fúze. Ideálně v češtině.

To, že výraz 0! = 1 není výsledek nějaké dohody na kongresu matematiků, ale výsledek výpočtu.

Výpočet 0! viz níže.

@Milan

Jako vtip dobré. Teď prosím o důkaz, který vychází z definice, ne ze způsobu, jak je používán, když platí výše uvedená domluva.

https://www.britannica.com/science/factorial