Polynomický anihilátor vektora vzhľadom na endomorfizmus; priamy súčin invariatných podpriestorov.

Ahoj Borisi,

spočítal jsi charakteristický polynom matice A, ale ještě musíš najít minimální polynom. Uprav charakteristický polynom do monického tvaru, rozlož ho na kořeny a dokaž, jestli je nebo není roven minimálnímu polynomu \( m_A(\lambda) \).

S druhou částí ti nepomůžu, protože nevím, jak definujete anihilátor. Obvykle to bývá vektorový podprostor duálního prostoru, nikoliv polynom nebo funkcionál. Podívej se na zmiňovaný důkaz.

Ve třetí části hledáš přímý součet (ne součin, jak píšeš). Máš charakteristický polynom, znáš vlastní čísla zobrazení \( f_A \), takže najdeš vlastní vektory a určíš podprostory invariantní pod \( f_A \). Ty dají přímý součet.

Ahoj Tomáš,

ďakujem veľmi pekne za odpoveď. Viem, že charakteristický polynóm matice sa automaticky nemusí rovnať minimálnemu polynómu. Prikladám foto https://files.catbox.moe/ahwkev.jpg (prepáč mi môj škrabopis), kde som sa pokúsil ukázať, že keď rozložíme charakt. polynóm na menšie polynómy, ani jeden z nich sa po dosadení matice A nebude rovnať nulovej matici. Tj. žiaden z menších polynómov nebude anulujúci. Tým pádom sa v našom prípade charakteristický polynóm rovná minimálnemu. Ale neviem, či som uvažoval správne... Ohľ. úpravy na monický tvar (hovorí sa mu aj normovaný?) - stačilo by tuná polynóm vynásobiť číslom (-1), aby sme takýto tvar dostali?

No, musím sa priznať, že čo sa týka anihilátora, zatiaľ som nenašiel definíciu, z ktorej by mi neostal rozum stáť. Dôkaz vety spomínanej v zadaní mi poslal jeden kamarát, ale ani on ani ja sme mu neporozumeli. Tu je to odfotené: https://files.catbox.moe/8blvlf.jpg a https://files.catbox.moe/kabr4u.jpg.

Áno, máš úplnú pravdu, v tretej časti ide o priamy súčet, to som sa pomýlil, keď som písal predmet otázky, veď to máme ako súčet priamo v zadaní úlohy :) Inak, čo máš presne na mysli tými "vlastnými číslami zobrazenia \(f_A\)" a "vlastnými vektormi"? Ako ich vieme nájsť? A ako určiť invariantné podpriestory? Neviem čo s tým popravde.

Veľká vďaka ešte raz :)

Monický polynom má u členu s nejvyšší mocninou koeficient 1. Slovo "normovaný" se používá v jiném významu, ale je možné, že mu tak říkáte.

Pokud je charakteristickým polynomem \( -(\lambda-2)^2(\lambda+1) \), tak minimálním polynomem musí být \( (\lambda-2)^2(\lambda+1) \) nebo \( (\lambda-2)(\lambda+1) \), což poměrně jednoduše plyne z invariance eigenprostorů \( E(f_A, 2) \) a \( E(f_A, -1) \), ale asi to chce trochu zkušeností tohle vidět.

Základním nástrojem na zkoumání operátorů jsou vlastní čísla a vlastní vektory (eigenvalues a eigenvectors). Pokud nevíš, co to je, tak netuším, jak bys měl úlohu řešit :)

Oprav si výsledek v první části, ve třetí části najdi báze obou eigenprostorů (budou to právě eigenvektory, což plyne z definice) a \( R^3 \) bude přímým součtem \( E(f_A, 2) \) a \( E(f_A, -1) \), protože eigenprostory jsou invariantní vůči \( f_A \). Např. pro \( E(f_A, 2) \) dostaneš bázi z vlastních vektorů náležejících vlastnímu číslu 2.

Když něčemu nerozumíš, pročti si znova definice, místo abys hledal "správný postup". Všechny termíny, které používám, jsou naprosto základní. Já té větě taky nerozumím, když tam létají písmenka a termíny, ke kterým nemám kontext :)

K tretej časti: Pojmy vlastných hodnôt a vektorov som si už objasnil :) Z rovnice \((λ-2)^2(λ+1)=0\) som získal vlastné hodnoty (jej korene), \(λ_1=2\) a \(λ_2=-1\). Podľa vzorca (\(A-λI_n)x=O\), pod \(O\) myslím nulovú maticu) pre vlastný vektor mi vyšli vektory: \(x=(2u+t; u; t)\), \(y=(t+\frac{ 3} { 4} ; t; \frac{ 3} { 2} )\). Prvý pripadá invariantnému podpriestoru s dimenziou 1 a druhý s dimenziou 2. Vybral som si podľa toho 3 konkrétne vektory z týchto množín:

\((2; 1; 0)\) - podľa x

\((\frac{ 3} { 4} ; 0; \frac{ 3} { 2} )\)

\((\frac{ 7} { 4} ; 1; \frac{ 3} { 2} )\) - podľa y

Dokopy tieto tri konkrétne vektory generujú priestor \(\mathbb{ R} ^3\), sú jeho bázou.

Neviem, je z toho voľačo správne? :))

Inak, spomínaný kamarát mi konečne poslal nejakú definíciu anihilátora. Je písaná podobným štýlom ako to predtým, ale zdá sa mi to o niečo zrozumiteľnejšie, ale úplne do "ľudskej reči" to preložiť neviem. Tu je https://files.catbox.moe/7ezin1.jpg. Neviem, snáď by si mi to vedel podať nejako jednoduchšie? :) Rozumiem, že anihilátor v zobrazení \(f_A\) s príslušným vektorom dá nulu (alebo ako to matematicky povedať? :)), ale neviem ako by som to v praxi uchopil a ako by som hľadal ten neznámy vektor, keď anihilátor poznám. Aké je vlastne naše zobrazenie (endomorfizmus)? Vieme napísať jeho predpis? Asi som pekne vedľa, ale mám problém si to predstaviť, alebo mi unikla nejaká úplne základná vec :)) Mám pocit, že už dlho s tým narábam, len som nepochopil pravý význam pojmu "zobrazenie". Vidím, že v druhej tvojej odpovedi narábaš s tým \(f_A\), ale priznám sa, že tvojim zápisom som zatiaľ neporozumel.

Člověče, já bych řekl, že ti neuniká základní věc, ale že jsi naprosto ztracený :) Snažíš se o něco podobného, jako je počítat derivaci a nevědět, co je to funkce. Tak se prostě vrať k základům a nauč se aspoň definice. To si musíš oddřít sám.

Třeba pak snadno zkontroluješ, že ty vlastní vektory máš špatně, což bys zjistil, kdybys jimi vynásobil matici A, první (2,1,0) je správně, ale druhým vektorem musí být třeba (1, 0, 1).

Lineární algebra se dá učit mnoha způsoby, a když vytrhneš větu nebo definici z kontextu celé látky, nedává moc smysl. Takže pochybuju, že ti někdo poradí, pokud zrovna nepoužívá identické značení. Mně ty definice dávají smysl a vidím, že tam chybí kus látky, který by mi vysvětlil, jak zavádíte vztahy pro jádra ireducibilních kompontent charakteristického polynomu (ve smyslu zobrazení f). Tohle je obvykle známé pod termínem zobecněných eigenprostorů, f-anihilátor odpovídá nulpotentnímu operátoru a samotný anihilátor se definuje jako vektorový podprostor duálního prostoru. Pak už totiž dává smysl i druhá část úlohy.

Ideálně si vezmi konzultaci, ale než na ni půjdeš, nauč se definici lineárního zobrazení, jinak by se přednášející mohl koukat hodně divně ;)

Btw, kdyby ses to přece jen chtěl pokusit spočítat (aniž víš, co je to endomorfismus):

1. minimální polynom jsme probrali
2. vektor \( v \) bude vlastním vektorem matice \( A \), protože potom je prvkem jádra zobrazení daného maticí \( A - 2I \) (vzhledem ke standardní bázi), tedy \( (A - 2I)v = 0 \), což je ireducibilní dělitel minimálního polynomu - a takhle musíš určit všechny tři vektory, dva už znáš
3. z násobnosti vlastního čísla určíš invariantní podprostory pod \( f_a \) a získáš bázi dvou podprostorů, které v přímém součtu dávají \( R^3 \)

Ďakujem krásne za prehľadný návod. Pokúsim sa na tom popracovať, ale tiež si ozrejmiť základné pojmy a definície súvisiace s touto tematikou, bez nich to asi naozaj nepôjde :) Som Ti veľmi vďačný za trpezlivosť a ochotu pomôcť. Ďalšiu odpoveď napíšem, iba ak výraznejšie postúpim ;)