Příklady ze zkoušky na VŠ

1. Dvě rovnice, čtyři neznámé. Řešení bude ve tvaru \([f(x_3, x_4), g(x_3,x_4), x_3,x_4]\). S těmi x3 a x4 budu zacházet jako s parametry.

2. Pro nakreslení grafu si najdi limity v nekonečnech a bodech nespojitosti. Dále pomocí první derivace extrémy a intervaly monotónnosti. Následně ještě můžeme spočítat průsečíky s osami.

K příkladu 5)... Číslo přepíšu do exponenciálního tvaru, umocním a upravím výsledek...

\((-1+i)^10 = \sqrt{ 2} ^{ 10} e^{ -i\frac{ \pi} { 4} \cdot 10} = 32 e^{ -i\frac{ \pi} { 2} } = -32i\)

Snad jsem se tam neseknul v násobení.

Já ti tu jedničku trochu upřesním, pokud bys pořád váhal: Nejlepší je asi nacpat si to do dvouřádkové matice, vynulovat \(x_1\) ve druhém řádku a pak už to jen rozepsat. \(x_3 = s\), \(x_4 = t\), ze druhého řádku dostaneš \(x_2\) a dosadíš ho do prvního řádku, z něhož ti vypadne \(x_1\) a máš hotovo.

A u dvojky se Jan přehlédnul v zadání, tak to napravím. Pro výpočet rovnice tečny potřebuješ její směrnici, což je první derivace dané funkce, v našem případě \(-\frac{ 2x } { (x^2-1)^2} \). Dosadíš 2 a vyjde ti směrnice \(-\frac{ 4 } { 9} \). Rovnice přímky je \(y=kx+q\), takže dosadíš a spočítáš si \(q\). Výsledek je \(y=-\frac{ 4} { 9} x+\frac{ 11} { 9} \)

A já jsem trouba, protože jsem si nepřečetl, že je zájem jen o 1, 4, 5 :-)

Tak jsme to oba trochu popletli... č.4:

substituce \(y = \sqrt{ x} \), \(dy = \frac{ 1} { 2\sqrt{ x} } dx\), krátká úprava a substituce \(z = y+1\), \(dz = dy\).

\(\int \frac{ x} { x + \sqrt{ x} } dx = 2\int \frac{ y^2} { y^2 + y} dy = 2\int \frac{ y} { y+1} dy = 2\int 1 - \frac{ 1} { z} dz = 2\left(z - ln(z)\right) + c = 2\left(y+1 - ln(y+1)\right) + c = 2\left(\sqrt{ x} + 1 - ln(\sqrt{ x} +1)\right) + c\)

Spíš takhle, je to zkontrolované derivací, to předtím nikoliv, když se to zderivuje, tak vyjde jen 1/(( x^0.5)+1), což není integrand.

No jo, hned v té první substituci jsem ztratil mocninu \(y\).