Procviceni na zkousku

Ahoj Tomasi, nevim jestli se tu najde nejaka dobra duse, ktera by ti to spocitala cele. Kdyby ne, muzeme to spocitat spolu v ramci konzultace nebo ti to muzu spocitat, ale jako placenou sluzbu. Je to totiz docela dost prace :-). Kdyztak mi napis mail na marek@mathematicator.com, nebo rovnou zavolej. Telefon mam v kontaktech. Marek

Ahoj Tomáši, psát ti sem celé řešení mi přijde značně nepedagogické, ale přihodím k příkladům nějaké nápovědy, jak řešit...

1a)

$\left(\frac{ 2n-1} { 2n+2} \right)^{ n-2} = e^{ (n-2)\ln\left(\frac{ 2n-1} { 2n+2} \right)}$

$\lim_{ n \to \infty} e^{ f(n)} = e^{ \lim_{ n \to \infty} f(n)}$

$\lim_{ x \to 1} \frac{ \ln(x)} { x-1} = 1$

$\lim_{ n \to \infty} \frac{ ax + b} { cx + d} = \frac{ a} { c}$

1b)

$\lim_{ x \to 0} \frac{ sin(x)} { x} = 1$

$\tan(x) = \frac{ \sin(x)} { \cos(x)}$

Plus ty rady výše...

2. Je to hodně práce, ale kroky jsou jednoduché, nebudu rozepisovat.

$V = \pi r^2h$

$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \frac{ 4000} { r}$

$\frac{ dS} { dr} = 0$ dá výsledek

$T^n(x) = \sum_{ k=0} ^{ n} \frac{ f^{ (k)} (a)} { k!} (x-a)^{ k}$

$a = 1; x = 1.1$

$\frac{ d} { dx} (x)^{ \frac{ 1} { 4} } = \frac{ 1} { 4} (x)^{ -\frac{ 3} { 4} }$...

5a)

$y = \sqrt(x)$

$dy = \frac{ 1} { 2} \frac{ 1} { \sqrt{ x} } dx$

$dx = 2ydy$

$2y\frac{ y+1} { y-1} = 2y + 2 + \frac{ 2} { y-1}$

$\int \frac{ 1} { x} dx = \ln(x)$

5b)

$\int u\cdot v' = uv - \int u'v$

$u = x^2 ; v' = sin(x)$

V dalším kroku metody per partes

$u = 2x ; v' = cos(x)$

$A = \frac{ 1} { 2} \int_0^\frac{ \pi} { 2} r(\varphi)^2 d\varphi$

$\sin^2(\alpha) = \frac{ 1-\cos(2\alpha)} { 2}$

$L = \int_0^{ \frac{ \pi} { 2} } \sqrt{ \left(\frac{ dx(t)} { dt} \right)^2+\left(\frac{ dy(t)} { dt} \right)^2} dt = \int_0^{ \frac{ \pi} { 2} } \sqrt{ V(t)} dt$

$V(t) = 9\cos^2(t)\sin^2(t)$

$\sqrt{ V(t)} = 6\sin(2t)$

$V = \int_{ \varphi=0} ^{ 2\pi} \int_{ x=0} ^{ 2} \int_{ y=x^2} ^{ x} y dydxd\varphi = 2\pi\int_{ x=0} ^{ 2} \left[\frac{ y^2} { 2} \right]_{ y=x^2} ^{ y=x} dx$