Rozdělení dětí do skupin
Dobrý večer,
mám syna a ten dostal ve škole (9. třída) tento příklad:
Kolika způsoby lze 20 dětí rozdělit do tří skupin tak, aby v první skupině bylo 10 dětí, ve druhé skupině bylo 6 dětí a ve třetí zbytek?
My si se synem nevíme rady, zkoušíme to už celý večer a nic. Paní učitelka říkala, že je to příkad pro "koumáky", ale musí ho vyřešit všichni. Teď ve škole berou rovnice, tak to bude asi na ně. Dá se to nějak logicky vyřešit? Nás napadlo si to zkusit vypsat, ale těch možností je velmi moc. Děkuji za pomoc.
Standa Macík
Standa M.
17. 01. 2023 20:33
7 odpovědí
To je úloha na kombinatoriku.
Protože tu blbne víceřádkový LaTeX, zapíšu to slovy: (20 nad 10) krát (10 nad 6) krát (4 nad 4) = 38798760
Dobrý večer,
to my se synem nevíme, co je. Ono teď ve škole berou rovnice a kombinatoriku prý nikdy nedělali. Nedalo by se to vyřešit nějak intuitivně, logicky? Abychom to zvládli i my. Bez použití toho Vašeho "(20 nad 10) atp."
Přečtěte si aspoň třeba tohle https://www.matweb.cz/kombinace/?value0=6&unit0=…
Stando, ukážu vám princip na té jedné skupině. Máme 20 dětí a chceme utvořit 10člennou skupinu. Pokud by záleželo na pořadí (tedy skupina Pepík, Anička by byla jiná skupina, než Anička, Pepík), tak to budeme počítat jak? Máme deset míst, na první pozici můžeme vybírat ze 20 dětí, na druhou z 19, ..., na desátou z 11, tedy 20x19x18x17x16x15x14x13x12x11. Pokud bychom pokračovali až do jedné, bylo by to 20 faktoriál. Skončili jsme ale tím desátým členem, tak jak splácáme vzorec? Vezmeme celých těch 20! a vydělíme tím, co jsme nepoužili, tedy \(\frac{ 20!} { (20-10)!} \). Jenže teď máme příliš velké číslo, protože jsme rozlišovali, v jakém pořadí jsou ty děti seřazeny. Takže to musíme vydělit ještě počtem všech možných "kombinací" (ony to ovšem nejsou kombinace, ale permutace), kterým se dala ta 10členná skupina seřadit, což je, viz postup výše, 10 faktoriál. Takže dostaneme \(\frac{ 20!} { (20-10)!\cdot10!} \). To je to číslo "něco nad něčím", tedy "n" nad "k" = \(\frac{ n!} { (n-k)!\cdot k!} \)
Děkuji za pomoc, trochu to chápeme, ale tohle stejně nejsou rovnice a zdá se, že je to pokročilejší matematika, takže nechápu, proč to dětem paní učitelka zadávala.
Tak třeba pro zábavu nebo aby si děti zkusily samy něco najít a naučit se. Vždyť je to fajn.
Buď to zadání znělo jinak nebo je odpověď "jedním způsobem". První skupina 10, druhá 6 a třetí 4 děti. Další varianta mě nenapadá.