Sinus, cosinus

Ahoj Veroniko,

je dobré umět nakreslit si grafy funkcí sinus a kosinus v intervalu x∈(0, 2π). Z toho pak snadno určíme, ve kterých kvadrantech jsou hodnoty kladné nebo záporné, pro které hodnoty se rovnají 0, +1, –1. Např. zde https://e-learning.vscht.cz/mod/page/view.php?id=11237 (1. graf je sinus, 2. kosinus).

Podle zadání je

$\sin x=\frac{ 2} { 5}$,

tj. KLADNÉ číslo menší než 1. Sinus je kladný v 1. a ve 2. kvadrantu – a řešení máme hledat ve 2. a 3. kvadrantu. Vyhovuje tedy 2. kvadrant, to je 1 řešení.

Podle zadání hledáme řešení ve všech 4 kvadrantech.

Použijeme vzorec

$\sin 2x =2\sin x \cos x$

Rovnici upravíme

$\sqrt{ 2} \cos x+2\sin x \cos x=0$

Upravíme na součinový tvar (když to jde, tedy vytkneme kosinus)

$\cos x\cdot(\sqrt{ 2} +2\sin x)=0$

Máme rovnici ve tvaru součinu dvou činitelů, rovnice se rovná nule, když jeden nebo druhý činitel je roven nule. Rovnice se tak rozpadne na dvě:

a)

$\cos x=0$

b)

$\sqrt{ 2} +2\sin x=0$

Ad a) Kosinus je roven nule pro $x=90^{ \circ}$ a pro $x=270^{ \circ}$, to jsou 2 řešení, která leží v zadaném intervalu.

Ad b) Upravíme

$\sin x = -\frac{ \sqrt{ 2} } { 2}$

Absolutní hodnota čísla na pravé straně je menší nebo rovna 1, tj. řešení existuje. Sinus je záporný ve 3. a 4. kvadrantu a v každém z nich má jedno řešení, odtud máme 2 řešení. Společně s a) jsou 4 řešení.

Moc vám děkuji.A mohla bych se ještě zeptat jak by se to řešilo v tomto případě:

Počet všech x∈(0, 2π), pro která platí sin x/2= sin x

výsledek je 1.

Je mi jasné, že si sinus x musím dát na levou stranu, ale dále už nevím.

Tuto rovnici je výhodné řešit pomocí grafů.

V soustavě souřadnic si nakreslíme graf funkce $y=\sin x$ v intervalu (0, 2π).

Funkce $y=\sin \frac{ x} { 2}$ má oproti funkci sinus dvojnásobnou periodu, tj. do intervalu (0, 2π) se vejde jen horní polovina sinusoidy. Viz https://www.wolframalpha.com/input?i=sin%28x%2F2%29%3Dsin…

Grafy se v intervalu (0, 2π) protnou pouze jednou (bod 0 do intervalu nepatří - tam nemá být putník).

DRUHÝ ZPŮSOB

Protože vzorec pro $\sin \frac{ x} { 2}$ obsahuje absolutní hodnotu, raději použijeme substituci

$\alpha=\frac{ x} { 2}$

tím se interval pro $\alpha$ změní na

$\alpha\in(0,\pi)$

a rovnice

$\sin \frac{ x} { 2} =\sin x$

řejdna

$\sin \alpha=\sin 2\alpha$

Nyní použijeme vzorec pro $\sin 2\alpha$, vše převedeme na levou stranu, upravíme na součinový tvar

$\sin \alpha\cdot(2\cos\alpha-1)=0$

Řešíme tedy dvě rovnice (jako minule), ale máme na pamětí, že hledáme řešení jen v otevřeném intervalu (0, π).

OPRAVA

místo "řejdna" má být: "přejde na"

Děkuju za pomoc