Ukázat, že množina V je podprostor
Dobrý den, na semináři nám byl zadaný úkol z LA. Jedná se o úkol č 3.4.4. Snažila jsem se na to přijít sama, ale bez šance. Jsem zmatená už od začátku. Vím jak teoreticky postupovat, ale nedokažu se vymotat z té množiny V, která ma tvar matice. Dáme mi není jasne to alfa = M3,2, jak na tuto matici prijdu? Potřebovala bych nějak stručně vysvětlit jaký bude postup. Nebo poradit popřípadě jak se nejlíp odpíchnout. Dekuji
Tereza T.
24. 10. 2022 14:54
1 odpověď
Podle zadání máš ukázat, že množina V je podprostorem prostoru L (je to L, ne alpha).
Množina V obsahuje matice a obvykle se to teda značí obráceně jako L=\( M_{ 2,3} \), tzn. prostor všech matic na tělesem \( \mathbb{ R} \) o rozměrech 2 krát 3.
-
Nejdřív ukážeš, že nulová matice je prvkem V. To je jednoduché, nastavíš \( a=b=c=d=0 \)
-
Dále si vezmeš dvě matice z V ukážeš, že jejich součet je také ve V. Pokud má první matice parametry \( a_1,b_1,c_1, d_1 \) a druhá \( a_2,b_2,c_2, d_2 \), tak stačí vzít parametry \(a=a_1+b_1, ..., d=d_1+d_2 \)
-
Stejným způsobem ukážeš, že skalární násobek prvku V je také ve V.
Dimenze \( M_{ 2,3} \) (nebo \( M_{ 3,2} \) ) je 6, takže dimenze V může být maximálně 6. Jenže V generujeme tak, že máme jen 4 volné proměnné, takže dimenze V bude nejvýše 4. To dokážeš tak, že si zvolíš bázi. Např. \( a=1, b=c=d=0 \) dá první prvek báze, \( b=1, a=c=d=0 \) dá druhý prvek, atd. Pak ukaž, že tímhle způsobem získáš 4 lineárně nezávislé prvky V a tím pádem je dimenze V právě 4.
Když v téhle bázi spočítáš soustavu rovnic, dostaneš hodnoty \( a,b,c,d \) pro prvek \( y \).