Zobrazení s parametrem

V obecném případě vyjdeš z definice. Zobrazení je na, pokud pro každé $(u, v) \in R^2$ existuje $(x, y) \in R^2$, aby platilo $f_a(x, y) = (u, v)$. Tenhle vztah dává soustavu rovnic

$ax+y=u \\ (3a+4)x+ay=v$

Když ji vyřešíš pro $x$, dostaneš $x=\frac{ au-v} { a^2-3a-4}$. Ze zlomku už vidíš hodnotu parametru $a$, pro který nebude existovat řešení a $f_a$ nebude na. Stejný výpočet uděláš i pro $y$.

Existuje i jednodušší postup, ale to záleží na tom, v jakém pořadí si vysvětlujete látku. Zobrazení je na právě tehdy, když je prosté, takže stačí řešit homogenní soustavu rovnic

$ax+y=0 \\ (3a+4)x+ay=0$

Vyjádříš si $y$ z první rovnice a dosadíš do druhé, abys zase dostala kvadratickou rovnici. Když je $a$ řešením rovnice, tak bude existovat netriviální řešení pro $(x,y)$ a pak funkce není prostá ani na.