Funkce

Zdravím.

Začal bych s definicí: Protože \(f(-x)=e^{ -(-x)} -e^{ -x} =-(e^{ -x} -e^x)=-f(x)\), vidím, že funkce je lichá.

O periodicitě tady vůbec nemá smysl uvažovat.

Protože fukce \(y=e^{ -x} \) je klesjící a fukce \(y=-e^x\) je také klesající (to jsou základní vlastnosti exponenciely, ty musíš znát), je zřejmé, že funkce jistě není rostoucí.

Funkci můžeme upravit \(y=\frac1{ e^x} -e^x=\frac{ 1-e^{ 2x} } { e^x} \). Když si rovnici přepíšeme do tvaru

\(e^{ 2x} +ye^x-1=0\) a vyřešíme kvadratickou rovnici, dostaneme \(e^x=\frac{ -y\pm\sqrt{ y^2+4} } 2\). Ovšem vzhledem k tomu, že \(e^x>0\) pro všechna reálná \(x\), musí být \(e^x=\frac{ \sqrt{ y^2+4} -y} 2\).

To znamená, že pro každé \(y\in\mathbb R\) existuje právě jedno \(x\in\mathbb R\), takže funkce je prostá.

Děkuju moc. Nemohu říci rovnou, že ta funkce je prostá, když je teda klesající?

Jistě, můžeš. To jsem překombinoval.