Funkce

Zdravím.

Začal bych s definicí: Protože $f(-x)=e^{ -(-x)} -e^{ -x} =-(e^{ -x} -e^x)=-f(x)$, vidím, že funkce je lichá.

O periodicitě tady vůbec nemá smysl uvažovat.

Protože fukce $y=e^{ -x}$ je klesjící a fukce $y=-e^x$ je také klesající (to jsou základní vlastnosti exponenciely, ty musíš znát), je zřejmé, že funkce jistě není rostoucí.

Funkci můžeme upravit $y=\frac1{ e^x} -e^x=\frac{ 1-e^{ 2x} } { e^x}$. Když si rovnici přepíšeme do tvaru

$e^{ 2x} +ye^x-1=0$ a vyřešíme kvadratickou rovnici, dostaneme $e^x=\frac{ -y\pm\sqrt{ y^2+4} } 2$. Ovšem vzhledem k tomu, že $e^x>0$ pro všechna reálná $x$, musí být $e^x=\frac{ \sqrt{ y^2+4} -y} 2$.

To znamená, že pro každé $y\in\mathbb R$ existuje právě jedno $x\in\mathbb R$, takže funkce je prostá.

Děkuju moc. Nemohu říci rovnou, že ta funkce je prostá, když je teda klesající?

Jistě, můžeš. To jsem překombinoval.