Pomoc s Exponencialni funkcí

Dobrý večer,

funkci \( B\cdot e^{ At} \) můžeme přepsat podle vzoru

\( B\cdot e^{ At} =B\cdot (e^A)^t=b\cdot a^t\)

tedy \( b=B, a=e^A\).

Konstanta \( b=B\) je počáteční teplota kávy. Násobíme-li ji konstantolu \( a\), vyjde teplota kávy po 1 minutě chladnutí.

Chceme-li vypočítat teplotu kávy v čase \( t \) minut, dosadíme do původního vzorce.

První hodina chladnutí vypadá takto: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D90*e%5E%28-0.032x…

Je odpověď postačující?

Dobrý večer Robin,

Moc děkují, stele mi jeste prosím neni jasne:

1 ) co je to - to male „e^(-0.032 ).

Když si tedy dosadim do puvodni funkce 70 stupnu abych vypocital neznamou „t“ tzn za jak dlouho coffe dosahne teto telploty.

Ale stale je tam neznámá to male „e“ co mám dosadit za to male „e“ abych vypocital „t“.

y= 70 x „e^(-0.032 ) x t

2 ) Pokud tomu rozumim tomu spravne, odpoved na otázku D budem že čím větší bude teplota v mistnosti tim vyší bude kontanta „t“. Bude toi přímá úměra, tzn že když se teplota místnoti zvedne o 20% zvedne se rovněž o 20% i "t" ?

Děkuju Vám za vysvětlení.

Rosta

Číslo \( e=2.7182818... \) je Eulerovo číslo, základ přirozených logaritmů.

Např. \( e^2 \) by byla druhá mocnina tohoto čísla. Číslo \( e^{ -0.031} =0.968506... \) vypočítáme pomocí kalkulačky.

Tedy \( b=90, a\doteq 0.9685 \).

Otázka c) \( f(t) = 70 \), máme tedy rovnici s neznámým časem \( t \) v minutách:

\( 70=90\cdot e^{ -0.032t} \)

logaritmujeme obě strany rovnice

\( \ln 70=\ln [90\cdot e^{ -0.032t} ] \)

podle pravidla o logaritmování součinu: \( \ln(A\cdot B)=\ln A + \ln B \)

\( \ln 70=\ln 90+\ln (e^{ -0.032t} )\)

použijeme pravidlo o logaritmování mocniny: \( \ln A^B=B\cdot\ln A \)

\( \ln 70=\ln 90-0.032t\cdot\ln e\)

a protože \( \ln e=1\), máme rovnici

\( \ln 70=\ln 90-0.032t\)

logaritmy vypočítáme na kalkulačce (jsou to přirozené logaritmy, na rozdíl od log)

Otázka d) mě zatím nenapadá :-)

d) Domnívám se, že půjde o funkci

\( f(t)=20+70e^{ -0.032t} \)

Káva má mít na začátku (\( t=0\)) teplotu 90 stupňů (to odpovídá) a na po ochlazení bude mít teplotu místnosti, tedy 20 stupňů, což také odpovídá, protože exponenciální funkce \( e^{ -0.032t} \) se limitně, tedy pro velká \( t\) blíží k nule. Graf: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D20%2B70e%5E%28-0…

Moc Vam dekuju za Vse ! Ted uz si to musim podle tohoto prikladu nastudovat. Dekuju mockrat ! Rosta

Hallo Robin,

cele jsem si to prochazel a chtel jsem se jeste zeptat k te uloze d).

funkce f(t) =20+70e^(-0.032x)

1 ) Cislovka 20 je v dane funkci teplota mistnosti a 70 je vychozi teplota coffee ?

2 ) Pokud tedy vime, ze teplota mistnosti bude 20 stupnu, pak tedy opoved na danou otazku „ co se stane s fuknci f “ bude , ze dana funkce bude klesat pomaleji nez kdyz je v mistnosti 0 stupnu ?

Dekuju Robin

Rosta

Funkci d) bylo potřeba tak trochu "uhodnout" - z toho, že výchozí teplota kávy má být 90 °C a jde opět o exponenciální pokles.

20 °C je teplota místnosti, číslo 70 vzniklo odečtením \( 90-20=70 \). Důvod je právě ten, že na začátku, tedy v čase \( t=0 \), pak vychází 90 °C:

\( f(0)=20+70\cdot e^{ -0.032\cdot0} =20+70\cdot e^{ 0} =20+70\cdot 1=90 \)

Ano, tato funkce klesá pomaleji (v teplejší místnosti chladne káva pomaleji).

Dekuju Robin, R

Zdravim Robin,

Mel jsem na foru jeste jednu ulohu na vektory.

Vas kolega tam vlozil reseni. Mohl byste mi to reseni prosim vysvetlit. Jsem samouk a moc by mi to ppmohli. Dekuju R

Reseni:….