Najděte lokální extrémy funkce

Ahoj, Veroniko,

tady je třeba si uvědomit, jak se hledá lokální extrém u funkce jedné proměnné. Derivací. A analogicky, sice ne úplně stejně, ale hodně podobně, se budou derivací hledat extrémy i tady. Jenže, jak už možná víš, u funkce dvou proměnných se nedělají klasické, ale parciální derivace. Takže napřed si uděláme první parciální derivace tvojí funkce $f(x,y)=x^3+y^2-6xy$.

$f'_x=3x^2-6y$

$f'_y=2y-6x$

Tím jsme získali dvě parciální derivace. Jelikož derivace je směrnice tečny, a v extrému je tečna "vodorovná", tak je v extrému její směrnice rovna nule. Tím pádem obě dvě parciální derivace musíme položit rovny nule a vyřešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.

$2y-6x=0\rightarrow y=3x$

$3x^2-6y=0\rightarrow 3x^2-18x=0\rightarrow x(3x-18)=0\rightarrow x_1=0,x_2=6$

Odtud už jednoduše vyjádříme stacionární body (body "podezřelé z extrému") dosazením do $y=3x$.

$S_1: y_1=3x_1\rightarrow x_1=0, y_1=0\rightarrow S_1[0;0]$

$S_2: y_2=3x_2\rightarrow x_1=6, y_1=18\rightarrow S_2[6;18]$

Jelikož jsme našli stacionární body, tak provedeme parciální derivace druhého řádu (kdybychom nenašli stacionární body, pak nemáme žádné podezřelé body, tudíž nemáme kde hledat extrém).

$f'_{ xx} =6x$

$f'_{ xy} =-6$

$f'_{ yx} =-6$ (podle Schwarzovy věty víme, že $f'_{ yx} =f'_{ xy}$)

$f'_{ yy} =2$

Tyto hodnoty dosadíme do vzorce pro jednotlivé stacionární body:

Pro připomenutí: $S_1[0;0], S_2[6;18]$

$J(T)=f'_{ xx} \cdot f'_{ yy} -f'_{ xy} \cdot f'_{ yx}$

$J(S_1)=6\cdot0\cdot2-(-6)\cdot(-6)=-36$

$J(S_2)=6\cdot6\cdot2-(-6)\cdot(-6)=72-36=36$

Teď se budeme zabývat jenom hodnotami $J(T)>0$. Když je $J(T)<0$, pak v tomto místě extrém neexistuje. Takový bod máme v našem příkladě jen jeden, a to $S_2[6,18]$. Podíváme se tak na druhou parciální derivaci podle xx, která je

$f'_{ xx} (S_2)=6\cdot6=36$.

A jelikož $36>0$, tak víme, že v bodě $S_2[6,18]$ je lokální minimum. (Pokud by $f'_{ xx} (T)<0$, tak by v bodě T bylo lokální maximum.)