Najděte lokální extrémy funkce

Ahoj, Veroniko,

tady je třeba si uvědomit, jak se hledá lokální extrém u funkce jedné proměnné. Derivací. A analogicky, sice ne úplně stejně, ale hodně podobně, se budou derivací hledat extrémy i tady. Jenže, jak už možná víš, u funkce dvou proměnných se nedělají klasické, ale parciální derivace. Takže napřed si uděláme první parciální derivace tvojí funkce \(f(x,y)=x^3+y^2-6xy\).

\(f'_x=3x^2-6y\)

\(f'_y=2y-6x\)

Tím jsme získali dvě parciální derivace. Jelikož derivace je směrnice tečny, a v extrému je tečna "vodorovná", tak je v extrému její směrnice rovna nule. Tím pádem obě dvě parciální derivace musíme položit rovny nule a vyřešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.

\(2y-6x=0\rightarrow y=3x\)

\(3x^2-6y=0\rightarrow 3x^2-18x=0\rightarrow x(3x-18)=0\rightarrow x_1=0,x_2=6\)

Odtud už jednoduše vyjádříme stacionární body (body "podezřelé z extrému") dosazením do \(y=3x\).

\(S_1: y_1=3x_1\rightarrow x_1=0, y_1=0\rightarrow S_1[0;0]\)

\(S_2: y_2=3x_2\rightarrow x_1=6, y_1=18\rightarrow S_2[6;18]\)

Jelikož jsme našli stacionární body, tak provedeme parciální derivace druhého řádu (kdybychom nenašli stacionární body, pak nemáme žádné podezřelé body, tudíž nemáme kde hledat extrém).

\(f'_{ xx} =6x\)

\(f'_{ xy} =-6\)

\(f'_{ yx} =-6\) (podle Schwarzovy věty víme, že \(f'_{ yx} =f'_{ xy} \))

\(f'_{ yy} =2\)

Tyto hodnoty dosadíme do vzorce pro jednotlivé stacionární body:

Pro připomenutí: \(S_1[0;0], S_2[6;18]\)

\(J(T)=f'_{ xx} \cdot f'_{ yy} -f'_{ xy} \cdot f'_{ yx} \)

\(J(S_1)=6\cdot0\cdot2-(-6)\cdot(-6)=-36\)

\(J(S_2)=6\cdot6\cdot2-(-6)\cdot(-6)=72-36=36\)

Teď se budeme zabývat jenom hodnotami \(J(T)>0\). Když je \(J(T)<0\), pak v tomto místě extrém neexistuje. Takový bod máme v našem příkladě jen jeden, a to \(S_2[6,18]\). Podíváme se tak na druhou parciální derivaci podle xx, která je

\(f'_{ xx} (S_2)=6\cdot6=36\).

A jelikož \(36>0\), tak víme, že v bodě \(S_2[6,18]\) je lokální minimum. (Pokud by \(f'_{ xx} (T)<0\), tak by v bodě T bylo lokální maximum.)