Nestrannost estimátoru
Ahoj,
mám následující výraz, který chci použít k odhadu parametru střední hodnoty. Podle zdroje odkud příklad pochází má vyjít, že se jedná o nestranný estimátor, tedy že střední hodnota výrazu vyjde \(\mu\). Pořád mi ale vychází \(2\mu\) ať dělám co dělám.
\(\frac{ 2} { N} \sum_{ i=1} ^{ N/2} (X_i + \mu) + \frac{ 2} { N} \sum_{ i=N/2+1} ^{ N} (X_i - \mu)\)
díky
Tomáš K.
27. 07. 2020 08:21
7 odpovědí
Ahoj Tomasi. A nescitas to nahodou od 1 do N? Misto do N/2 ?
Kdyz si to takhle z hlevy zkousim spocitat, tak mi to prijde ze to vychazi. Hod sem ten svuj vypocet.
Tady je můj postup:
\(\frac{ 2} { N} [\sum_{ i=1} ^{ n/2} (Xi)+\frac{ N} { 2} \mu] + \frac{ 2} { N} [\sum_{ i=n/2+1} ^{ n} (Xi)-\frac{ N} { 2} \mu]\)
\(\frac{ 2} { N} \sum_{ i=1} ^{ n/2} (Xi)+\frac{ 2} { N} \frac{ N} { 2} \mu+\frac{ 2} { N} \sum_{ i=n/2+1} ^{ n} (Xi)-\frac{ 2} { N} \frac{ N} { 2} \mu\)
\(\frac{ 2} { N} \sum_{ i=1} ^{ n/2} (Xi)+\mu+\frac{ 2} { N} \sum_{ i=n/2+1} ^{ n} (Xi)-\mu\)
\(\frac{ 2} { N} \sum_{ i=1} ^{ n/2} (Xi)+\frac{ 2} { N} \sum_{ i=n/2+1} ^{ n} (Xi)\)
\(E[\frac{ 2} { N} \sum_{ i=1} ^{ n/2} (Xi)+\frac{ 2} { N} \sum_{ i=n/2+1} ^{ n} (Xi)]=\frac{ 2} { N} E[\sum_{ i=1} ^{ n/2} (Xi)]+\frac{ 2} { N} E[\sum_{ i=n/2+1} ^{ n} (Xi)]=\frac{ 2} { N} \sum_{ i=1} ^{ n/2} E[Xi]+\frac{ 2} { N} \sum_{ i=n/2+1} ^{ n} E[Xi]\)
\(\frac{ 2} { N} \frac{ N} { 2} \mu+\frac{ 2} { N} \frac{ N} { 2} \mu=2\mu\)
Hele nevin presne co tam delas s tema E na predposlednin radku, ale treti radek od konce, kdyz ty sumy spojis, tak je to prece stredni hodnota, ne? Respektive jeji odhad... aritmetickej prumer...
Až do čtvrtého řádku jen upravuju ten výraz abych pak mohl spočítat jeho střední hodnotu (E(X)).
Jj, když ty sumy na třetím řádku od konce spojím tak dostanu aritmetický průměr ale 2x (je tam furt ta dvojka vytknutá) - takže výsledek prostě bude \(2\mu\) e ne \(\mu\) jak by mělo vyjít v případě nestrannosti...
Nojo. Mas pravdu. Vychazi to tak....
Děkuju za kontrolu.