Dobrý den

Pomůžete mi prosím s těmito úlohami?

Přeji hezký den

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je dáno:.b=5 cm, cb= 4cm Vypočítejte zbývající prvky (a,b,c,ca,cb,v,alfa, beta).

Strana pravidelného pětiúhelníku a=20cm.Vypočítejte jeho obsah a poloměr kružnice opsané.


Obtížnost: Střední škola
Kategorie: Planimetrie
Lenka K.

Lenka K.

13. 05. 2021   17:27

9 odpovědí

Jan Z.
Jan Z.
13.05.2021 18:17:12

K první úloze... bude zapotřebí použít: Vietovy vzorce, Pythagorovu větu a Funkci sinus. Dostaneme:

\(c * c_b = b^2 \Rightarrow c = \frac{ 25} { 4} \\

c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow a = \sqrt{ \frac{ 625} { 16} - 25} = \sqrt{ \frac{ 225} { 16} } = \frac{ 15} { 4} \\

c * c_a = a^2 \Rightarrow c_a = \frac{ \frac{ 225} { 16} } { \frac{ 25} { 4} } = \frac{ 9} { 4}

\)

Pro ověření - c=ca+cb=94+164=254

\(\sin\alpha = \frac{ a} { c} \Rightarrow \alpha = \arcsin\frac{ 15} { 25} \approx 36.87^\circ \\

\sin\beta = \frac{ b} { c} \Rightarrow \beta = \arcsin\frac{ 20} { 25} \approx 53.13^\circ

\)

Opět můžeme pro kontrolu: α+β=36.87+53.13=90

Jan Z.
Jan Z.
13.05.2021 19:16:05

Oprava formátu:

\(\sin\alpha = \frac{ a} { c} \Rightarrow \alpha = \arcsin\frac{ 15} { 25} \approx 36.87^\circ \\

\sin\beta = \frac{ b} { c} \Rightarrow \beta = \arcsin\frac{ 20} { 25} \approx 53.13^\circ\)

A ke druhé úloze:

Víme, že vnitřní úhel pravidelného pětiúhelníku je 540/5=108.

Z toho můžeme dopočítat parametry trojúhelníků, které ho tvoří:

\(\frac{ v_a} { a/2} = \tan 54^\circ \\

\frac{ a/2} { r} = \cos 54^\circ \)

Tedy va=13.76 cm, a r=17.01 cm. Pak už snadno S=5ava2=513.76202=688 cm2

Jak už označení napovídá, r je ten žádaný poloměr kružnice opsané.

Jan Z.
Jan Z.
13.05.2021 19:18:08

Tak já nevím, nějak mi to formátování nejde... tak ještě jednou ty divné pasáže:

\(\sin\alpha = \frac{ a} { c} \Rightarrow \alpha = \arcsin\frac{ 15} { 25} \approx 36.87^\circ \\

\sin\beta = \frac{ b} { c} \Rightarrow \beta = \arcsin\frac{ 20} { 25} \approx 53.13^\circ\)

a

\(\frac{ v_a} { a/2} = \tan 54^\circ \\

\frac{ a/2} { r} = \cos 54^\circ \)

Jan P.
Jan P.
16.05.2021 09:57:27

sinα=acα=arcsin152536.87

sinβ=bcβ=arcsin202553.13

a

vaa/2=tan54

a/2r=cos54

Jan P.
Jan P.
16.05.2021 10:27:11

Jan P. pro Jana Z.: Před vložením příspěvku se dá ukázat "Náhled" (tlačítko je hned nad oknem pro vkládání textu) - trvalo mi asi dva měsíce, než jsem si toho všiml :) Jinak, při vkládání vzorců si nejdřív zkopíruju krajní "lomítka se závorkami" (červeně nad oknem).

Pro Lenku: Postup vložím za chvíli.

Jan P.
Jan P.
16.05.2021 10:45:05

Známe stranu b a úsek cb.

Podle Pythagorovy věty vypočítáme výšku k přeponě vc (viz obrázek), platí b2=cb2+vc2.

Z Euklidovy věty o výšce vc2=cacb vypočítáme úsek ca. Přepona měří c=ca+cb.

Z Euklidovy věty o odvěsně a2=cca najdeme a. Úhly pomocí goniometrických funkcí. Stačí takto?

Příloha ke komentáři
Jan Z.
Jan Z.
16.05.2021 10:49:50

To je právě to... v náhledu to vypadalo pokaždé v pořádku. A potom ve výsledku to v pořádku být přestalo. Ale asi to dělá to odřádkování v rámci jednoho LaTeX bloku.

Jan P.
Jan P.
16.05.2021 11:02:17

Pravidelný pětiúhelník je na obrázku zde https://www.vypocitejto.cz/obsah-obvod/petiuhelnik/ . Tam uvedené vzorce ale nejsou vhodné pro výpočty ve škole.

V obrázku si vyznač trojúhelník ABS, úhel při vrcholu S má velikost 360:5=72. Pravidelný pětiúhelník se skládá z pěti stejných trojúhelníků.

Potřebujeme vypočítat výšku trojúhelníku ABS (va), což je zároveň poloměr kružnice vepsané (na obr. vyznačený rv). Použijeme funkci tangens nebo kotangens, např. tan36=(a/2)/va. Obsah trojúhelníku ABC je S=ava/2, obsah pětiúhelníku je pětkrát větší.

Poloměr kružnice opsané vypočítáme pomocí Pythagorovy věty nebo některé goniometrické funkce.

Jan P.
Jan P.
16.05.2021 11:06:05

Pro Jana Z.: Aha, to se mi ještě nestalo, ale zatím jsem příspěvků moc nenapsal, tak mě to třeba ještě čeká :)

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.