Poloměr a obor konvergence geometrické řady

Ahoj, dokážete mi někdo poradit, jak "rozumně" spočítat následující příklad? Urči poloměr a obor konvergence řady

\(\sum_{ n=1} ^{ \infty} 2^n x^{ 2n} \)

Poloměr vyjde \(r=\frac{ 1} { \sqrt{ 2} } \), obor konvergence otevřený interval \((-r, r)\), ale nevím, jak se k tomu dobrat správnou cestou, k tomu srozumitelnou. Tyhle případy, kdy \(x\) je v jiném tvary než \(x^n\) jsem nenašel vůbec nikde vysvětlené, tento konkrétní příklad máme ve skriptech i vyřešený, ale šíleně krkolomnou cestou, na kterou bych nikdy nepřišel, mám problém i pochopit samotný postup.

Sám bych na to šel asi ne zcela legální cestou, že bych vydělil dva po sobě jdoucí členy, čímž dostanu kvocient, jehož absolutní hodnota musí být menší než \(1\). Z toho mi vypadne, že \(|x|<\frac{ 1} { \sqrt{ 2} } \), což je vzhledem k tomu, že střed konvergence je nula, zároveň ten poloměr i obor konvergence. Otestuji ještě krajní hodnoty, abych zjistil, že tam nepatří, a je vyřešeno. Ale nevím, jestli je to postup, který by u zkoušky obstál. Případně, zda se dá obhájit, protože k tomuto tématu jsou všechny zdroje, co jsem našel, značně strohé...