Rovnostranný trojuhelník

Je dán rovnostranný trojuhelník o straně 6cm. Do něho je vepsaný další rovnostranný trojuhelník tak, že jeho vrcholy dělí stranu původního trojuhelníku v poměru 1:2. Stejným způsobem jsou vepsány další trojuhelníky. Určete délku strany desátého trojuhelníku a součet obsahů prvních patnácti trojuhelníků. ( na 2 des. místa v cm´)

✓   Téma bylo vyřešeno.

Obtížnost: Střední škola
Lucie R.

Lucie R.

13. 10. 2020   10:56

1 odpověď

Zeněk R.
Zeněk R.
13.10.2020 16:05:05

Důležité je uvědomit si, že u dělícího bodu je pravý úhel (obrázek). Takže pokud strana prvního trojúhelníka je \(a\), pak (Pythagorova věta), je strana nového trojúhelníka \(a\frac{ \sqrt3} 3\).

Máš tedy geometrickou posloupnost s kvocientem \(q=\frac{ \sqrt3} 3\).

Vypočítat desátý člen by měla být hračka.

Obsah: dva po sobě jdoucí trojúhelníky jsou podobné s koeficientem podobnosti \(q\). Takže jejich obsahy jsou v poměru \(q^2=\frac13\).

Dostáváš opět geometrickou posloupnost obsahů.

Vypočítat součet prvních patnácti členů by opět neměl být problém (samozřejmě, nejdřív si musíš vypočítat obsah prvního trojúhelníka).

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.