Výpočet kvádru pomocí geometrické posloupnosti

Ahoj,

bez újmy na obecnosti můžeme označit délky hran kvádru \(a,b,c\) a psát \(a = a\), \(b = a\cdot q\) a \(c = a \cdot q^2\).

Objem tedy bude \(V = 216 = abc = a^3\cdot q^3\), tedy \(a\cdot q = 6\).

Součet délek hran tedy \(s = 21 = a+b+c = a + aq + aq^2\). Dosadíme, že \(a = 6/q\), tedy

\(21 = 6/q + 6 + 6q\)

\(15q = 6 + 6q^2\), tedy \( 2q^2 - 5q + 6 = 0\)

\(q = \frac{ 5 \pm 1} { 4} \), tedy \(q = 1\), nebo \(q = \frac{ 3} { 2} \).

Z toho vychází \(a = 6\), nebo \(a = 4\), tedy \([a,b,c] = [6,6,6]\), nebo \([a,b,c] = [4,6,9]\)

To nejako nevychadza, nema byt a+b+c=21?

Tu je 6+6+6=18 alebo 4+6+9=19.

A jo, nevychází... Stěžejní úvaha je správně, řešení rovnice pro q je špatně.

Rovnice má být \(2q^2 - 5q + 2\text{ ( ne 6 ) } = 0\)

A tím pádem to od tohoto kroku nesedí.

\(q\) pak vyjde buď \(2\), nebo \(\frac{ 1} { 2} \), což je vlastně identický výsledek, protože to změní jen pořadí členů řady.

Dostaneme tedy \([a,b,c] = [3,6,12]\)