Rovnice s parametrem

Ahoj Terezo,

rovnici upravíme na tvar

\( x(a+4)=2-a \)

za podmínky \( a\neq -4 \) je

\( \displaystyle x=\frac{ 2-a} { a+4} \)

Má být \( x>1 \), tedy

\( \displaystyle \frac{ 2-a} { a+4} >1 \)

Tuto nerovnici řešíme tak, že obě strany vynásobíme \( (a+4) \). Je-li tento výraz kladný, znak nerovnosti se tím nezmění, je-li ale záporný, znak nerovnosti se změní v opačný. Úlohu tedy rozdělíme na dvě části:

a) \( a+4>0 \) ... interval \( a\in(-4,+\infty) \)

Pak dostaneme

\( 2-a>a+4 \)

Po úpravě

\( a<-1 \) ... interval \( a\in(-\infty, -1) \)

Průnik intervalů: \( (-4,+\infty)\cap(-\infty, -1)= (-4,-1) \).

b) \( a+4<0\) ... interval \( a\in(-\infty,-4) \)

Násobíme záporným výrazem, změníme znak nerovnosti v opačný:

\( 2-a < a+4 \)

Po úpravě

\( a>-1 \) ... interval \( a\in(-1,+\infty) \)

Průnikem intervalů je prázdná množina: \((-\infty,-4)\cap(-1,+\infty)=\emptyset\)

Závěr: Sjednocením výsledků a) + b) je interval \( a\in(-4,-1) \).

Zdravím, jen doplním, že by se mělo ještě vyšetřit, co se děje pro \( a=-4 \). V tomto příkladě dostaneme, že pro takovou hodnotu parametru rovnice nemá řešení; ale kdyby řešením byla, řekněme, všechna reálná čísla, tak by podle mě i \(-4\) byla řešením úlohy.