Rovnice s parametrem

Ahoj Terezo,

rovnici upravíme na tvar

$x(a+4)=2-a$

za podmínky $a\neq -4$ je

$\displaystyle x=\frac{ 2-a} { a+4}$

Má být $x>1$, tedy

$\displaystyle \frac{ 2-a} { a+4} >1$

Tuto nerovnici řešíme tak, že obě strany vynásobíme $(a+4)$. Je-li tento výraz kladný, znak nerovnosti se tím nezmění, je-li ale záporný, znak nerovnosti se změní v opačný. Úlohu tedy rozdělíme na dvě části:

a) $a+4>0$ ... interval $a\in(-4,+\infty)$

Pak dostaneme

$2-a>a+4$

Po úpravě

$a<-1$ ... interval $a\in(-\infty, -1)$

Průnik intervalů: $(-4,+\infty)\cap(-\infty, -1)= (-4,-1)$.

b) $a+4<0$ ... interval $a\in(-\infty,-4)$

Násobíme záporným výrazem, změníme znak nerovnosti v opačný:

$2-a < a+4$

Po úpravě

$a>-1$ ... interval $a\in(-1,+\infty)$

Průnikem intervalů je prázdná množina: $(-\infty,-4)\cap(-1,+\infty)=\emptyset$

Závěr: Sjednocením výsledků a) + b) je interval $a\in(-4,-1)$.

Zdravím, jen doplním, že by se mělo ještě vyšetřit, co se děje pro $a=-4$. V tomto příkladě dostaneme, že pro takovou hodnotu parametru rovnice nemá řešení; ale kdyby řešením byla, řekněme, všechna reálná čísla, tak by podle mě i $-4$ byla řešením úlohy.