Výpočet poloměru kružnice za pomocí středového bodu a obecné rovnice tečny
Dobrý den, letos dělám přijímací zkoušky na VŠE a jak se tak propočítávám příklady, vždy na mě vyskočí tento typ se kterým si nevím rady, prosím o pomoc:
přímka t: x+2y-13=0 je tečnou kružnice, která má střed v bodě S = [1;1]
Vždy se vysvětlování látky počítá s určitým bodem této tečny, ten tu ale neni zadán. Děkuji za pomoc
Lukáš L.
21. 05. 2020 16:59
3 odpovědi
Ahoj Lukáši, tím, že je to tečna, tak ti vlastně stačí spočítat, jak daleko je ta přímka od středu S. A na to je takovej šikovnej vzoreček - vzdálenost bodu od přímky. No a když to pomocí toho spočítáš, tak máš vlastně poloměr tý kružnice a už můžeš napsat její rovnici.
Zdravím, ještě bych dodal, že je možný si z rovnice přímky vyjádřit jednu proměnnou a dosadit do rovnice kružnice. Potom, co dosadíme, tak vyjde kvadratická rovnice s proměnnou x nebo y a parametrem r², kde stačí spočítat diskriminant a ten položit rovno nule. Nule z toho důvodu, protože chceme, aby ta přímka s tou kružnici měly jeden společný bod(protože ta přímka je tečna). Tedy aby kvadratická rovnice měla 1 dvojnásobný kořen.
Když to napíšu v našem případě.
x=-2y+13
(x-1)²+(y-1)²=r²
(-2y+12)²+(y-1)²=r² 4y²-48y+144 +y²-2y+1=r² 5y²-50y +145-r²=0
Tedy D= 2500-4•5•(145-r²)=0, kde r vyjde ±√(20) (tedy jen plus, protože poloměr nemůže být záporný)
Markův postup bude zcela určitě rychlejší, ovšem v tomhle případě si nemusíš pamatovat vzorec pro vzdálenost bodu od přímky, ale řešíš to jen jako soustavu dvou rovnic (ovšem s parametrem).
Děkuji mockrát za pomoc, oba způsoby mi pomohli