Bazové funkce

Ahoj Zdeňku,

přesně to stejné mě napadlo nedávno. Přesnou odpověď neznám, ale něco tam přidat musíš, aby ty dvě bázové funkce byly lineárně nezávislé.

Zajímaví otázka je taky ta, proč se to řešení dif. rovnice hledá zrovna jako exponenciála. nemohli bychom hledat jiné bázové funkce? A odpověď je zajímavá... mohli. Ale bylo by to hodně složité...

Ahoj Zdeňku,

to je dobrá otázka, ale pro jednoduchou odpověď potřebujeme trochu abstrakce.

Máme lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty, \( y^{ (n)} + a_{ n-1} y^{ (n-1)} + ... + a_0 = f(x) \) pro kterou můžeme zadefinovat zobrazení \( L(y) = y^{ (n)} + a_{ n-1} y^{ (n-1)} + ... + a_0 \) , čili L zobrazuje z vektorového prostoru \( C^{ n} \) do prostoru \( C \)

Řešení homogenního tvaru diferenciální rovnice, tedy \( L(y) = 0 \) , budou nutně obsažena v jádru zobrazení L a tvoří vektorový podprostor \( C^{ n} \)

Tohle jsou jen základy lineární algebry a není na tom nic objevného, ale už by mělo být jasné, kam směřuju. Není těžké ukázat, že \( e^{ \lambda.t} \) je prvkem jádra L pro každé řešení charakteristické rovnice \( \lambda \)

Pro vícenásobný kořen je prvkem jádra i funkce \( t.e^{ \lambda.t} \) , stačí dosadit do L a vyjádřit ve tvaru \( L(t.e^{ \lambda.t} ) = \aleph(\lambda).t.e^{ \lambda.t} +\aleph'(\lambda).e^{ \lambda.t} \) kde \( \aleph(\lambda) \) je charakteristický polynom v bodě \((\lambda \) - odtud je hned vidět, že první i druhý sčítanec budou pro vícenásobný kořen nulové.

To nám dává odpověď na Tvoji druhou otázku, \( \pi.t^{ 3} .e^{ \lambda.t} \) je sice lineárně nezávislá na prvním řešení, ale nepatří do jádra \( Ker(L) \) v případě dvojnásobného kořene charakteristické rovnice.

Odpověď na první otázku už by měla být také jasná. Pokud je \( z(x) \) řešením specifické rovnice \( L(y) = f(x) \) potom je řešením také každá funkce \( w(t) + z(x) \) pro \( w \) z \( Ker(L) \) protože \( L(w(t) + z(x) ) = L(w(t)) + L( z(x) ) = 0 + f(x) = f(x) \)

Ve své podstatě to je jen obyčejné řešení soustavy lineárních rovnic, tak snad moje vysvětlení pomůže.

:)) Napsal bych odpověď dřív, než Marek, ale web mě odhlásil, tak jsem to musel psát nadvakrát.

Ještě malý dodatek pro Marka.

Věta o existenci a jednoznačnosti řešení pro počáteční podmínky říká, že vyhovující funkce bude pouze a právě jedna. Můžeš si zvolit bázi jádra, ale ne vektorový prostor, ten je daný.

Pokud máš funkci \( e^t \) obalující prostor V, potřebuješ najít jinou funkci, která je na ní lineárně závislá, takových je sice nekonečně mnoho, ale jejich tvar bude poněkud specifický :)

Děkuji, Tomáši a Marku. Zjišťuji, že mé teoretické trhliny v lineární algebře jsou natolik hluboké, že vám rozumím stěží pár slov. Vím, co je báze, ale nevím, co je báze jádra. Vím, co je vektorový prostor a jaké má podmínky, ale nevím, co je podprostor. A jak to, že "ve své podstatě to je jen obyčejné řešení soustavy lineárních rovnic"? Co znamená, že funkce obaluje prostor? To prostě nedám, promiňte.

Ahoj Zdeňku,

tohle jsou naštěstí úplné základy, takže jsem předpokládal jejich znalost a vzal to trochu zkrátka, jenže pak je to asi jen kupa nesmyslů :)

Vektorový prostor je struktura daná množinou V a operacemi sčítání na V a násobení skalárem (z tělesa T), které splňují sadu určitých axiomů. Příkladem může být prostor \( R^2 \) , což jsou dvojice reálných čísel \( { (x,y): x,y \in R } \)

U je podprostorem vektorového prostoru V, pokud je U podmnožinou V a stále splňuje axiomy vektorového prostoru. Třeba \( { (x,2x): x \in R } \) je podprostorem \( R^2 \) a obsahuje prvky (1, 2), (-10, -20), atd.

Lineární zobrazení z vektorového prostoru V do vektorového prostoru W je funkce \( L: V \to W \) , která respektuje axiomy prostorů V a W.

Teď to zajímavé, množina všech prvků \( v \in V \) se nazývá jádrem zobrazení L, pokud \( L(v) = 0_w \) . Jádro L značíme jako \( Ker(L) = { v \in V: L(v) = 0 } \) a dá se ukázat, že je vektorovým podprostorem V.

Když si teď vezmu množinu funkcí \( { e^t, t.e^t } \) nad tělesem reálných čísel, jejich lineární kombinace vytvářejí určitou množinu, které říkáme lineární obal a dá se ukázat, že je to také vektorový prostor daný bází \( ( e^t, t.e^t ) \) a jeho prvky jsou všechny funkce \( u.(1+vt).e^t, u,v \in R \)

A v tomhle spočívá souvislost mezi řešením soustavy lineárních rovnic a lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty. V obou případech můžeme zadefinovat jisté zobrazení K a najít jedno jediné řešení rovnice \( K(x) = y \) , ať už K zobrazuje cokoliv kamkoliv (v tom spočívá krása abstrakce). Z takového řešení už dohledáme všechna ostatní řešení velice snadno, protože žádný prvek jádra K nemůže změnit hodnotu, na kterou se K zobrazuje a současně žádné další řešení nemůže existovat.

V původní odpovědi jsem takové zobrazení zadefinoval a ukázal, co je jeho jádrem. To pak dává odpovědi na to, proč vybíráme zrovna takovéhle funkce pro řešení diferenciální rovnice.

Ještě doplním jednoduchý příklad, aby bylo trochu lépe vidět celou myšlenku. Vyřešíme na reálných číslech rovnici

\( x+2y = 3 \)

Řešení bude podprostorem \( R^2 \) , takže nejprve najdu jedno specifické řešení, například \( v=(1, 1) \) je řešením.

Dále si vezmu zobrazení \( L(x,y) = x+2y \) a najdu jeho jádro. Je vidět, že \( L(2x, -x) = 0 \) , takže mám poprostor \( R^2 \) ve tvaru \( (2x, -x) \) a všechna řešení budou ve tvaru \( (1, 1) + (2x, -2) = (1+2x, 1-x) \)

Lineární diferenciální rovnice se řeší prakticky identickým postupem.