Číselné výrazy

Přeji pěkné odpoledne, Jindro.

Důležité je především vědět, co je to rozdíl, součet, součin a podíl.

Pokud \(a, b \in \mathbb{ R} \) jsou dvě libovolná reálná čísla, pak

\(a + b\) je jejich součet,

\(a - b\) je jejich rozdíl (zde záleží na pořadí čísel),

\(a \cdot b\) je jejich součin a

\(\frac{ a} { b} \) je jejich podíl, pokud \(b \neq 0\) (zde rovněž záleží na pořadí čísel)

Dále je třeba si ujasnit, co přesně znamená číslo opačné a číslo převrácené.

Pokud máme libovolné reálné číslo \(a\), pak číslo opačné k číslu \(a\) je takové číslo \(b\), aby platila rovnice \(a + b = 0\), tedy na reálných číslech je k číslu \(a\) opačné číslo \(-a\). Abych uvedl příklad, k číslu \(2\) je opačné číslo \(-2\).

Převrácené číslo je trochu něco jiného. Převráceným číslem k libovolnému reálnému číslu \(a\) rozumíme takové číslo \(b\), aby platila rovnice \(a \cdot b = 1\). Snadno dojdeme k tomu, že k číslu \(a\) je převrácenou hodnotou číslo \(\frac{ 1} { a} \). Musí ale platit, že \(a \neq 0\). Číslo \(0\) převrácenou hodnotu jako jediné reálné číslo nemá. Abych uvedl příklad, k číslu \(8\) je převrácené číslo \(\frac{ 1} { 8} \).

Jinak taky můžeme říct, že číslo opačné je inverzním prvkem reálného čísla vzhledem na sčítání a číslo převrácené je iverzním prvkem reálného čísla (s výjimkou nuly) vzhledem na násobení.

Co se týče vašich příkladů, postupujeme následovně:

1. součin součtu a rozdílu čísel \(-2.3\) a \(4.7\)

Součet těchto čísel je \(-2.3 + 4.7\) a jejich rozdíl je \(-2.3 - 4.7\). Teď jen najdeme součin těchto výrazů, tedy:

\((-2.3 + 4.7) \cdot (-2.3 - 4.7) = 2.4 \cdot -7 = -16.8\)

2. rozdíl podílu čísel \(3\) a \(5\) a podílu čísel k nim opačných

Podíl čísel \(3\) a \(5\) je \(\frac{ 3} { 5} \). Číslo opačné k \(3\) je \(-3\) a číslo opačné k \(5\) je \(-5\), tedy podíl čísel opačných k \(3\) a \(5\) je \(\frac{ -3} { -5} = \frac{ 3} { 5} \).

Hledaný rozdíl je tudíž \(\frac{ 3} { 5} - \frac{ 3} { 5} = 0\).

3. rozdíl podílu čísel \(2\) a \(7\) a podílu čísel k nim převrácených

Podíl čísel \(2\) a \(7\) je \(\frac{ 2} { 7} \). Číslo převrácené k \(2\) je \(\frac{ 1} { 2} \) a číslo převrácené k \(7\) je \(\frac{ 1} { 7} \). Podíl převrácených čísel je tedy \(\frac{ \frac{ 1} { 2} } { \frac{ 1} { 7} } = \frac{ 7} { 2} \).

Rozdíl těchto dvou zlomků je tedy:

\(\frac{ 2} { 7} - \frac{ 7} { 2} = -\frac{ 45} { 14} \)

Snad je to všechno zřejmé! Určitě se ozvěte, pokud ne.

Moc Vám děkuji Tomáši.

Skvěle vysvětleno.

Mohu Vás ještě požádat - v prvním příkladě, jak jste došel k číslu 2,4 ?

Vážený pane Jindro,

poměrně jednoduše. V závorce je výraz \(-2.3 + 4.7\). Jde o součet dvou čísel (záporného a kladného). My víme, že sčítání je na reálných číslech takzvaně komutativní, tedy nezáleží na pořadí jednotlivých operandů. Závorku tedy můžeme zapsat jako \(4.7 - 2.3\), což je sice rozdíl, ale technicky jde stále jen o sčítání kladného a záporného čísla \(4.7 + (- 2.3)\).

Stačí už jen spočítat, že \(4.7 - 2.3 = 2.4\)

ááá tak pardon. Já myslel že se závorky počítají mezi sebou jako (-2,3 x -2,3) ...

Mám takové mezery že nevím, jestli se doučovat látku 2.stupně základní školy a nebo se nějak prolouskat číselnými výrazy a na to nabalovat další.

Ještě jednou Vám děkuji za odpovědi a trpělivost.

Přeji příjemný večer.

Teď koukám, že číselné obory jsou látkou 9.třídy.

To jsem na tom tedy dost špatně.

Vážený pane Jindro,

ale samozřejmě že takto by bylo možné příklad také počítat!

Máte-li součin \((−2.3 + 4.7) \cdot (−2.3 − 4.7)\), pak by roznásobení závorek bylo naprosto legitimní operací.

Určitě můžete provést následující:

\((−2.3 + 4.7) \cdot (−2.3 − 4.7) =

(-2.3 \cdot (-2.3)) + (-2.3 \cdot (-4.7)) + (4.7 \cdot (-2.3)) + (4.7 \cdot (-4.7)) = 5.29 + 10.81 - 10.81 - 22.09 = -16.8\).

Jak vidíte, i takto jsme dospěli k témuž výsledku. Podobné roznásobení by bylo nutné v případě, že jeden ze členů uvnitř závorky by byla proměnná, neznámá nebo iracionální konstanta (např. \(e\)). V tomto případě můžeme ale jednoduše provést sčítání uvnitř závorky, v tom nám nic nebrání.

Co se týče těch mezer v matematice, o kterých mluvíte, přeji vám, ať se vám podaří je postupně zaplňovat. Určitě vám to půjde rychleji, než byste řekl.

Omluvám se, LaTeX se nějak nepopral s tak dlouhým matematickým zápisem (v náhledu nicméně vše fungovalo). Vložím to sem znovu na více řádcích:

\((−2.3 + 4.7) \cdot (−2.3 − 4.7) =\)

\((-2.3 \cdot (-2.3)) + (-2.3 \cdot (-4.7)) + (4.7 \cdot (-2.3)) + (4.7 \cdot (-4.7)) =\)

\(5.29 + 10.81 - 10.81 - 22.09 = -16.8\).