Fugnovanie "triku" na násobenie veľkých prirodzených čísel

Bez kresleni se to vysvetluje hur, ale zkusim to nejak ve zkratce.

Kdyz nasobis 53 x 57, jak ses to ucil ve skole, tak si to na papire pises zprava doleva, prenasis cislice a z hlavy se to dela spatne.

Ja pro nasobeni z hlavy pouzivam konvoluci. Vsechny cislice vynasobis mezi sebou a prenaseni nechas na konec. V pripade 53 x 57 musim dostat 3 cisla.

53 x 57 = 5x5 (5x7 + 5x3) 3x7 = 25 50 21 = 3021

• prvni krok je konvoluce

• druhy krok je "skoro" vysledne cislo, ale bez prenesenych desitek

• treti krok je preneseni a vysledek

S pouzitim konvoluce je uz videt, proc to funguje.

• prvni clen je 5x5

• druhy clen je 5x3 + 5x7 = 5x(3+7) = 5x10, protoze soucet cislic na konci dava 10

• preneseni desitek mezi cleny znamena, ze na prvnim miste dostavam 5x5 + 5 = 5x6

• protoze druhy clen obsahuje nasobeni 10, zadnou cislici zprava neprenasis

Takze po konvoluci mame 53x57 = 5x6 3x7 = 3021

Je to ekvivalentni vypocet k memu pouzivani konvoluce, ale protoze v zadani jsou jen dve volitelne cislice a zbyle jsou pevne dane, tak prostedni vypoctu odpadne, tam se jen nasobi neco krat 10.

Napriklad nasobim 28. To jsou dve cislice, co jsem si mohl vybrat. Musim nasobit 28 x 22.

• Konvoluci: 28x22 = 2x2 (2x2 + 2x8) 2x8 = 4 20 16 = 6 16

• Trikem: 28x22 = 2x3 2x8 = 6 16

Ahoj,

když si to rozepíšu pro trojciferné číslo, ať to není moc dlouhé, dostanu

$AAB \cdot AAC = C\cdot AAB + 10A\cdot AAB + 100A\cdot AAB = BC + 10AC + 100AC + 10AB + 100AA + 1000AA + 100AB + 1000AA + 10000AA$

$= B\cdot C + 10A(C+B) + 100A(C+B) + 100A\cdot A + 2000A\cdot A + 10000A\cdot A = B\cdot C + 100A + 1000A + 100A\cdot A + 2000A\cdot A + 10000A\cdot A$

Když si napíšu ten druhý krok, dostanu

$100\cdot \left(AA \cdot A(A+1)\right) = 100\left(A\cdot A + 20A\cdot A + 100A\cdot A + A+ 10 A\right) = 100A + 1000A + 100A^2 + 2000A^2 + 10000A^2$, tedy přesně to, co mi zbyde, když dám pryč to $B\cdot C$ z toho prvního výrazu.