Fugnovanie "triku" na násobenie veľkých prirodzených čísel
Zdravím.
Stretol som sa s jedným matematickým "trikom", ktorý však neviem zdôvodniť.
Pokúsim sa ho zhrnúť:
(Po dopísaní môjho zhrnutia som našiel video, ktoré o tom hovorí, no stále nevysvetľuje, ako postup funguje, takže si môžte buď pozrieť video alebo prečítať môj pokus o vysvetlenie postupu
https://www.youtube.com/watch?v=hPKSEnnJYUE)
Hovorí o tom, že pokiaľ násobíme dve (dve a viac ciferné) prirodzené čísla, a sú splnené nasledujúce podmienky:
a) 1. cifra pri dvojciferných číslach (resp. séria cifier pri viacciferných číslach tak, aby serią obsahovalo toľko cifier, koľko ciferné je číslo -1 (to vieme povedať aj o dvojcifernom čísle)), musí byť tá istá
Pr. 14 a 16 alebo 114 a 116
b) Súčet posledných cifier každého násobeného čísla sa musí rovnať desiatim (preto sme v podmienke a) nezáratavali do možnej série cifier poslednú cifru
(Pr. hore, pod podmienkou a) spĺňajú aj podmienku b))
A teda, ak sú obe podmienky splnené, potom môžeme:
Zhodnú cifru, resp. sériu cifier v prvom čísle vnímame ako samostatné číslo a vynásobíme ho s číslom o jedna väčším
(Pr. 14 a 16 = 1*2) = zapíšeme ako prvé do výsledku,
Za toto číslo následne zapíšeme súčin posledných cifier oboch čísel (tie, ktorých súčet sa musí rovnať desiatim) a máme výsledok súčinu dvoch veľkých čísiel.
(Pr. 4*6 = 24,
tzn. 14*16=224)
Pozn. V prípade, ak by jedna z posledných dvoch cifier mala hodnotu 1, a teda súčin s číslom 9 by bol jednociferný, pred tento súčin do výsledku pripíšeme nulu = súčet posledných dvoch čísel musí byť v "dvojcifernej podobe".
Dúfam, že sa moje vysvetlenie dalo pochopiť a teraz k mojej otázke,
ako je možné, že to funguje? :-)
Boris
Boris S.
16. 08. 2022 14:51
2 odpovědi
Bez kresleni se to vysvetluje hur, ale zkusim to nejak ve zkratce.
Kdyz nasobis 53 x 57, jak ses to ucil ve skole, tak si to na papire pises zprava doleva, prenasis cislice a z hlavy se to dela spatne.
Ja pro nasobeni z hlavy pouzivam konvoluci. Vsechny cislice vynasobis mezi sebou a prenaseni nechas na konec. V pripade 53 x 57 musim dostat 3 cisla.
53 x 57 = 5x5 (5x7 + 5x3) 3x7 = 25 50 21 = 3021
-
prvni krok je konvoluce
-
druhy krok je "skoro" vysledne cislo, ale bez prenesenych desitek
-
treti krok je preneseni a vysledek
S pouzitim konvoluce je uz videt, proc to funguje.
-
prvni clen je 5x5
-
druhy clen je 5x3 + 5x7 = 5x(3+7) = 5x10, protoze soucet cislic na konci dava 10
-
preneseni desitek mezi cleny znamena, ze na prvnim miste dostavam 5x5 + 5 = 5x6
-
protoze druhy clen obsahuje nasobeni 10, zadnou cislici zprava neprenasis
Takze po konvoluci mame 53x57 = 5x6 3x7 = 3021
Je to ekvivalentni vypocet k memu pouzivani konvoluce, ale protoze v zadani jsou jen dve volitelne cislice a zbyle jsou pevne dane, tak prostedni vypoctu odpadne, tam se jen nasobi neco krat 10.
Napriklad nasobim 28. To jsou dve cislice, co jsem si mohl vybrat. Musim nasobit 28 x 22.
-
Konvoluci: 28x22 = 2x2 (2x2 + 2x8) 2x8 = 4 20 16 = 6 16
-
Trikem: 28x22 = 2x3 2x8 = 6 16
Ahoj,
když si to rozepíšu pro trojciferné číslo, ať to není moc dlouhé, dostanu
\(AAB \cdot AAC = C\cdot AAB + 10A\cdot AAB + 100A\cdot AAB = BC + 10AC + 100AC + 10AB + 100AA + 1000AA + 100AB + 1000AA + 10000AA\)
\( = B\cdot C + 10A(C+B) + 100A(C+B) + 100A\cdot A + 2000A\cdot A + 10000A\cdot A = B\cdot C + 100A + 1000A + 100A\cdot A + 2000A\cdot A + 10000A\cdot A\)
Když si napíšu ten druhý krok, dostanu
\(100\cdot \left(AA \cdot A(A+1)\right) = 100\left(A\cdot A + 20A\cdot A + 100A\cdot A + A+ 10 A\right) = 100A + 1000A + 100A^2 + 2000A^2 + 10000A^2\), tedy přesně to, co mi zbyde, když dám pryč to \(B\cdot C\) z toho prvního výrazu.