Goniometrické funkce

Ahoj Lenko,

odpovědi na 1. a 2. otázku najdeš např. zde http://www.realisticky.cz/kapitola.php?id=100

, hodina (040)209 str. 8 a 9, hodina 214 str. 7 a 8, hodina 215 str. 6 a 7.

Nebo v tabulkách, máte-li je :)

Třetí úloha a). Máme rovnici \( \sin x = -0.8 \), kde \( x\in(270^\circ, 360^\circ) \), tedy leží ve 4. kvadrantu. Můžeme postupovat pomocí jednotkové kružnice, pomocí grafu funkce nebo pomocí určitých pravidel - zkusím ukázat tento způsob.

Nejdříve řeším rovnici v 1. kvadrantu, kde funkce sinus nabývá kladných hodnot, řeším tedy rovnici \( \sin x = 0.8 \), kde \( x\in(0^\circ, 90^\circ) \).

Pomocí kalkulačky nebo z tabulek určím \( x_0=53.130^\circ. \)

Řešení původní rovnice ve 4. kvadrantu je potom \( x=360^\circ - x_0\), tedy \( x=360^\circ - 53.130^\circ=306.870^\circ.\)

O správnosti se můžeš přesvědčit výpočtem na kalkulačce: \( \sin 306.870^\circ =-0.8 \) (po malém zaokrouhlení).

Takovéto jednoduché rovnice tedy řešíme tak, že nejdříve najdeme hodnotu v 1. kvadrantu (s kladným číslem na pravé straně rovnice), kterou označíme \(x_0\). Řešení v dalších kvadrantech je:

ve 2. kvadrantu ... \( x=180^\circ - x_0\)

ve 3. kvadrantu ... \( x=180^\circ + x_0\)

ve 4. kvadrantu ... \( x=360^\circ - x_0\)

Třetí úloha b).

V tabulkách ani na kalkulačce asi kotangens nemáme, proto jej převedeme na tangens:

\(\displaystyle{ \rm tg} \ x = \frac{ 1} { { \rm cotg} \ x} =\frac{ 1} { 3} =0.333\ 333...\)

Řešíme tedy rovnici \( { \rm tg} x=0.333\ 333 \) v 1. kvadrantu. Z kalkulačky nebo z tabulek \( x=18.435^\circ \).

Čtvrtá úloha

a) Sinus úhlu je poměr protilehlé strany a přepony. Narýsujeme si pomocný pravoúhlý trojúhelník o straně 3 jednotky a přeponě 5 jednotek (např. cm). Pak vyznačit ten správný úhel (ze dvou možností) - strana 3 jednotky leží naproti tomuto úhlu.

b) Kontangens úhlu je poměr přilehlé strany ku protilehlé, jejich délky jsou např. 1,4 a 1 (nebo 14 cm a 10 cm). Jinak obdobně.

Pátá úloha

Sinus úhlu BAC je roven 0,8, velikost tohoto úhlu známe ze 3. úlohy. V obdélníku ABCD máme pravoúhlý trojúhelník BAC, ve kterém známe stranu BC a jeden úhel. Stranu AB a přeponu AC vypočítáme pomocí goniometrických funkcí.

Jestliže \( \sin\varphi=0.8 \), hodnoty dalších goniometrických funkcí určíme takto:

\(\cos=\pm\sqrt{ 1-\sin^2\varphi} =\pm\sqrt{ 1-0.8^2} =\ \dots\) a protože úhel \( \varphi \) leží v 1. kvadrantu, bude kosinus kladný

\(\displaystyle{ \rm tg} \ \varphi=\frac{ \sin\varphi} { \cos\varphi} \)

\(\displaystyle{ \rm cotg} \ \varphi=\frac{ \cos\varphi} { \sin\varphi} \)