Kinematika - padající těleso

Ahoj,

nejdřív zkusím jen napovědět - dráha volného pádu je $y=\frac{ 1} { 2} gt^2$, tj.

za 1 sekundu urazí dráhu ... $\frac{ 1} { 2} g\cdot 1$

za 2 sekundy ... $\frac{ 1} { 2} g\cdot 4$

za 3 sekundy ... $\frac{ 1} { 2} g\cdot 9$

za $n$ sekund ... $\frac{ 1} { 2} g\cdot n^2$

Pak třeba za 3. sekundu urazí dráhu

$\frac{ 1} { 2} g\cdot 9-\frac{ 1} { 2} g\cdot 4=\frac{ 5} { 2} g$

Podobně si vyjádříš dráhu za $n$-tou sekundu. Dál by to mohlo být snadné, potíž může být snad jen v obecném vyjádření. (Bez toho by to byla celkem snadná úloha - prostě bychom počítali dráhy za jednotlivé sekundy.)

Ještě může mást označení. Jelikož podle zadání je $s$ dráha za poslední ($n$-tou) sekundu, označil jsem celkovou dráhu $y$.

Viz níže :

Stále jsem v tom ztracen, mohl bych poprosit o řešení příkladu, snad to z toho pochopím.

Zdravím. Dobře, celý postup:

Jak už ti napsal Miroslav, pro dráhu volného pádu platí $h=\frac12gt^2$. To znamená, že z výšky $h$ dopadne těleso za $t=\sqrt{ \frac{ 2h} g}$

Podle zadání pak musí platit: $\sqrt{ \frac{ 2h} g} =\sqrt{ \frac{ 2(h-s)} g} +1$ - (tohle si pořádně promysli, to je klíčová myšlenka)

Tím skončila fyzika a zbytek je algebra na úrovni gymplu.

$\frac{ 2h} g=\frac{ 2h-2s} g+2\sqrt{ \frac{ 2(h-s)} g} +1$

$\frac{ 2s} g-1=\sqrt{ \frac{ 8(h-s)} g}$

$\frac{ 4s^2} { g^2} -\frac{ 4s} g+1=\frac{ 8(h-s)} g$

$h=\frac{ s^2} { 2g} +\frac s2+\frac g8$

Ještě doplním svoje řešení - a místo $n$ budu psát $t$, což bude lepší:

Za $t$ sekund urazí $\frac{ 1} { 2} g\cdot t^2$

za $(t-1)$ sekund urazí $\frac{ 1} { 2} g\cdot (t-1)^2$

Za poslední sekundu urazí rozdíl těchto vzdáleností, tj.

$s=\frac{ 1} { 2} g\cdot t^2-\frac{ 1} { 2} g\cdot (t-1)^2= \frac{ 1} { 2} g(2t-1)$

odkud

$\displaystyle t= \frac{ s} { g} +\frac{ 1} { 2}$

Vychází doba pádu 3 sekundy.

Těleso padalo z výšky

$\displaystyle y= \frac{ 1} { 2} gt^2$

Máme najít obecné řešení, proto dosadíme

$\displaystyle y= \frac{ 1} { 2} gt^2=\frac{ 1} { 2} g\left(\frac{ s} { g} +\frac{ 1} { 2} \right)^2$

což se dá upravit na tvar

$\displaystyle y= \frac{ (2s+g)^2} { 8g}$