Kombinatorika
Gymnazium Dašická Pardubice chce po mé dceři v přikladu na kombinatoriku "Abrakadabra", kolik je možností, aby nebyla dvě pismena A vedle sebe a kolik je možnosti aby bylo pět pismen A vedle sebe. Zakladni kombinatoriku jsme jakžtakž zvládli, ale toto nejsem schopen dceři i při vysokoškolském vzdělání a 2 semestrech vysokoškolské matematiky na VŠCHT vysvětlit, neboť sám nechápu. Nebylo by nějaké podrobnější vysvětlení. Proč je náčrtek o 13 členech , když má výraz abrakadabra 11 pismen? Kde se vzalo v řešeni kombinačni čislo 7 nad pěti? Jsou toto opravdu příklady pro středoškolskou matematiku? Sama učitelka neumí vysvětlit, má pouze výsledek. Opět odrazujete děti od matematiky. Čeho je moc, toho je příliš, praví přísloví. Děkuji. MUDr. Martin Furych, Pce
Martin F.
17. 01. 2022 19:33
1 odpověď
Dobrý den.
Vezmu to od konce. Ano, jsou to jednoduché příklady středoškolské úrovné.
5 A vedle sebe: Představme si, že všechna A dáme k sobě a zabalíme je do "balíčku". Vznikla nám tak 7 objektů (6 souhlásek, z nichž dvě se dvakrát opakují a "balíček". Zajímá nás, kolika způsoby tyto objekty můžeme uspořádat. Jelikož píšete, že základní věci jste zvládli, tak jste jistě poznali, že se jedná o permutace s opakováním, a na to je vzoreček. \(\frac{ 7!} { 2!\cdot 2!} \)
Druhá otázka je trošku složitější, ale jen trošičku: Uspořádáme všechny souhlásky (opět permutace s opakováním). To lze \(\frac{ 6!} { 2!\cdot 2!} \) způsoby. Souhlásky nám vytvoří 7 pozic (5 mezer mezi souhláskami a 2 na krajích). Z těchto sedmi pozic musíme vybrat 5, na něž umístíme Áčka. To lze \({ 7\choose5} \) způsoby (jedná se o kombinace). Podle "Pravidla kombinatorického součinu" se možnosti násobí. Takže \(\frac{ 6!} { 2!\cdot 2!} \cdot { 7\choose5} \)