Logaritmus
Dobrý večer, mohol by mi prosím niekto pomôcť s týmito úlohami?
Julia B.
01. 03. 2021 18:59
1 odpověď
Přeji pěkné odpoledne, Julie,
co se týče příkladu
logx=0.5⋅loga+3⋅logb−2⋅logclogx=0.5⋅loga+3⋅logb−2⋅logc,
kde a,b,c>0a,b,c>0,
musíme si nejprve uvědomit, že pro kladné aa platí vztah:
k⋅loga=logakk⋅loga=logak,
tedy původní rovnici lze upravit:
logx=loga12+logb3+logc−2.logx=loga12+logb3+logc−2.
Nyní můžeme využít té vlastnosti, že funkce 10x10x je prostá, tedy je možné dát obě strany rovnice do argumentu této funkce:
10logx=10loga12+logb3+logc−2.10logx=10loga12+logb3+logc−2.
Pokud je v exponentu součet, lze výraz rozložit následovně:
10logx=10loga12⋅10logb3⋅10logc−2.10logx=10loga12⋅10logb3⋅10logc−2.
Využijeme toho, že pro funkci ff a funkci k ní inverzní f−1f−1 platí vztah
f(f−1(x))=f−1(f(x))=xf(f−1(x))=f−1(f(x))=x
a že funkce logxlogx a 10x10x jsou navzájem inverzní. Upravujeme tedy:
x=a12⋅b3⋅c−2=√a⋅b3c2x=a12⋅b3⋅c−2=√a⋅b3c2
Podobně postupujte i v případě následujících podpříkladů.
Co se týče příkladu 7575, zde využijete naprosto stejné vztahy, ale jdete na to opačně. Ukážu to na jednom příkladu.
log√10⋅ab⋅c=log(10⋅ab⋅c)12=12⋅log(10⋅ab⋅c)log√10⋅ab⋅c=log(10⋅ab⋅c)12=12⋅log(10⋅ab⋅c)
Zde využijeme ještě toho, že logaritmus součinu je součet logaritmů a logaritmus podílu je rozdíl logaritmů.
12⋅log(10⋅ab⋅c)=12⋅(log(10⋅a)−log(b⋅c)))=12⋅log(10⋅ab⋅c)=12⋅(log(10⋅a)−log(b⋅c)))=
=12⋅(log10+loga−logb−logc)=12⋅(1+loga−logb−logc)=12⋅(log10+loga−logb−logc)=12⋅(1+loga−logb−logc)