Logaritmus

Přeji pěkné odpoledne, Julie,

co se týče příkladu

\(\log x = 0.5 \cdot \log a + 3 \cdot \log b - 2 \cdot \log c\),

kde \(a, b, c > 0\),

musíme si nejprve uvědomit, že pro kladné \(a\) platí vztah:

\(k \cdot \log a = \log a^k\),

tedy původní rovnici lze upravit:

\(\log x = \log a^{ \frac{ 1} { 2} } + \log b^3 + \log c^{ -2} .\)

Nyní můžeme využít té vlastnosti, že funkce \(10^x\) je prostá, tedy je možné dát obě strany rovnice do argumentu této funkce:

\(10^{ \log x} = 10^{ \log a^{ \frac{ 1} { 2} } + \log b^3 + \log c^{ -2} } .\)

Pokud je v exponentu součet, lze výraz rozložit následovně:

\(10^{ \log x} = 10^{ \log a^{ \frac{ 1} { 2} } } \cdot 10^{ \log b^3} \cdot 10^{ \log c^{ -2} } .\)

Využijeme toho, že pro funkci \(f\) a funkci k ní inverzní \(f^{ -1} \) platí vztah

\(f(f^{ -1} (x)) = f^{ -1} (f(x)) = x\)

a že funkce \(\log x\) a \(10^x\) jsou navzájem inverzní. Upravujeme tedy:

\(x = a^{ \frac{ 1} { 2} } \cdot b^3 \cdot c^{ -2} = \frac{ \sqrt{ a} \cdot b^3} { c^2} \)

Podobně postupujte i v případě následujících podpříkladů.

Co se týče příkladu \(75\), zde využijete naprosto stejné vztahy, ale jdete na to opačně. Ukážu to na jednom příkladu.

\(\log{ \sqrt{ \frac{ 10 \cdot a} { b \cdot c} } } = \log{ (\frac{ 10 \cdot a} { b \cdot c} )^{ \frac{ 1} { 2} } } = \frac{ 1} { 2} \cdot \log{ (\frac{ 10 \cdot a} { b \cdot c} )} \)

Zde využijeme ještě toho, že logaritmus součinu je součet logaritmů a logaritmus podílu je rozdíl logaritmů.

\(\frac{ 1} { 2} \cdot \log{ (\frac{ 10 \cdot a} { b \cdot c} )} = \frac{ 1} { 2} \cdot (\log{ (10 \cdot a} ) - \log{ (b \cdot c)} )) =\)

\(= \frac{ 1} { 2} \cdot (\log{ 10} + \log{ a} - \log{ b} - \log{ c} ) = \frac{ 1} { 2} \cdot (1 + \log{ a} - \log{ b} - \log{ c} )\)