Logaritmus a x^a
Ahoj!
Čtu matematickou knížku a narazil jsem na problém, který vypadá ze začátku velice jednoduše, ale nemůžu s ním ani za boha hnout.
\(\ln x = x^{ 0.01} \)
Zkoušel jsem logaritmovat obě strany, zkoušel jsem substituci, zkoušel jsem dát obě strany jako exponenty pro e (\(e^{ \ln x} =e^{ x^{ 0.01} } \)), ale nikam jsem se tím nedostal. Napadlo mě použít Lambertovu W funkci, ale nemůžu přijít na to, jak se k ní dostat, takže to možná ani nebude řešením. Samozřejmě, že mě napadlo použít k výsledku grafy, programy Desmos i Geogebra mi vyhodily výsledek ~2.746, ale zajímalo by mě, jestli se dá k výsledku dobrat i algebraicky?
Díky předem všem, kdo se nad otázkou byť jen zamyslí. :)
Martin K.
25. 05. 2022 14:22
2 odpovědi
Zdravím,
viděl bych to asi takto:
\(\ln x=x^{ 0,01} \)
\(x^{ -\frac1{ 100} } \cdot \ln x=1\)
\(\ln x\cdot e^{ -\frac1{ 100} \ln x} =1\)
\(W(-\frac1{ 100} \ln x\cdot e^{ -\frac1{ 100} \ln x} )=W(-\frac1{ 100} )\)
\(-\frac1{ 100} \ln x=W(-\frac1{ 100} )\)
\(x=e^{ -100W(-\frac1{ 100} )} \)
Super! Děkuju moc, vůbec se mi nedařilo to rozlousknout. :)