Příklad na logaritmickou rovnici se substitucí
Zdravím. Mám tu jeden pěkný příklad z Petákové. Wolfram mi nechce ukázat postup a jiné aplikace to neumí :D
\(log_{ 4} ^{ 2} x^{ 3} - \frac{ 4} { log_{ 4} ^{ 2} x^{ 2} } = 8\)
Výsledek má být 4 a 1/4, ale nevím, jak se k tomu dostat. Teoreticky postup chápu, ale nemůžu se dostat ke správnému výsledku.
Poradíte mi někdo prosím?
Honza J.
11. 01. 2020 11:03
1 odpověď
Tato rovnice má ve skutečnosti čtyři řešení v oboru reálných čísel. Jedná se totiž o bikvadratickou rovnici (více zde: https://cs.wikipedia.org/wiki/Kvartick%C3%A1_rovnice#…).
Začneme tím, že rovnici upravíme. (Vynásobíme jmenovatelem, provedeme logaritmické úpravy a dáme vše na jednu stranu...) Dostaneme se do tohoto tvaru, což je právě ona bikvadratická rovnice: \(9\log_4^4x- 8\log_4^2x-1=0\)
Potom můžeme provést substituci \(y^2= \log_4^4x\) a dostaneme kvadratickou rovnici: \(9y^2-8y-1=0\). Tato kvadratická rovnice má potom dvě reálná řešení a to \(y_1=1\) a \(y_2=-\frac{ 1} { 9} \). Každé z těchto dvou řešení se rozdělí na další dvě řešení (kvůli druhé mocniny) po zpětném dosazení do \(y^2= \log_4^4x\). Tady už stačí jednoduché úpravy a pro \(y_1\) dostaneme \(x_{ 1,2} =4^{ \pm1} \) a pro \(y_2\) dostaneme \(x_{ 3,4} =4^{ \pm\frac{ 1} { 3} } \).