Příklad na logaritmickou rovnici se substitucí

Tato rovnice má ve skutečnosti čtyři řešení v oboru reálných čísel. Jedná se totiž o bikvadratickou rovnici (více zde: https://cs.wikipedia.org/wiki/Kvartick%C3%A1_rovnice#…).

Začneme tím, že rovnici upravíme. (Vynásobíme jmenovatelem, provedeme logaritmické úpravy a dáme vše na jednu stranu...) Dostaneme se do tohoto tvaru, což je právě ona bikvadratická rovnice: $9\log_4^4x- 8\log_4^2x-1=0$

Potom můžeme provést substituci $y^2= \log_4^4x$ a dostaneme kvadratickou rovnici: $9y^2-8y-1=0$. Tato kvadratická rovnice má potom dvě reálná řešení a to $y_1=1$ a $y_2=-\frac{ 1} { 9}$. Každé z těchto dvou řešení se rozdělí na další dvě řešení (kvůli druhé mocniny) po zpětném dosazení do $y^2= \log_4^4x$. Tady už stačí jednoduché úpravy a pro $y_1$ dostaneme $x_{ 1,2} =4^{ \pm1}$ a pro $y_2$ dostaneme $x_{ 3,4} =4^{ \pm\frac{ 1} { 3} }$.