Přihlásit se
Fórum
Katalog
Kurzy
Všechna videa
Články
Vaše úspěchy
Doučování
Nápověda

Příklad na logaritmickou rovnici se substitucí

Zdravím. Mám tu jeden pěkný příklad z Petákové. Wolfram mi nechce ukázat postup a jiné aplikace to neumí :D

\(log_{4}^{2} x^{3} - \frac{4}{log_{4} ^{2} x^{2}} = 8\)

Výsledek má být 4 a 1/4, ale nevím, jak se k tomu dostat. Teoreticky postup chápu, ale nemůžu se dostat ke správnému výsledku.

Poradíte mi někdo prosím?


Obtížnost: Střední škola
Honza J.

Honza J.

11. 01. 2020   11:03

1 odpověď

David M.
David M.
11.01.2020 13:15:01

Tato rovnice má ve skutečnosti čtyři řešení v oboru reálných čísel. Jedná se totiž o bikvadratickou rovnici (více zde: https://cs.wikipedia.org/wiki/Kvartick%C3%A1_rovnice#%C5%98e%C5%A1en%C3%AD_bikvadratick%C3%A9_rovnice).

Začneme tím, že rovnici upravíme. (Vynásobíme jmenovatelem, provedeme logaritmické úpravy a dáme vše na jednu stranu...) Dostaneme se do tohoto tvaru, což je právě ona bikvadratická rovnice: \(9\log_4^4x- 8\log_4^2x-1=0\)

Potom můžeme provést substituci \(y^2= \log_4^4x\) a dostaneme kvadratickou rovnici: \(9y^2-8y-1=0\). Tato kvadratická rovnice má potom dvě reálná řešení a to \(y_1=1\) a \(y_2=-\frac{1}{9}\). Každé z těchto dvou řešení se rozdělí na další dvě řešení (kvůli druhé mocniny) po zpětném dosazení do \(y^2= \log_4^4x\). Tady už stačí jednoduché úpravy a pro \(y_1\) dostaneme \(x_{1,2}=4^{\pm1}\) a pro \(y_2\) dostaneme \(x_{3,4}=4^{\pm\frac{1}{3}}\).

Souhlasí: 2    
Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.