Matematika

Přeji pěkný večer, Soňo,

označme prostřední z těchto čísel $n \in \mathbb{ N} \ \setminus$ { $0$} , tedy jde o přirozené číslo, nikoliv však o nulu.

Součet těchto tří čísel tedy je

$(n - 1) + n + (n + 1)$

Současně platí, že $n$ je dělitelné dvěma (víme, že je sudé), můžeme jej tedy zapsat jako $n = 2 \cdot k$, kde $k \in \mathbb{ N} \ \setminus$ { $0$} .

Píšeme tedy:

$(2 \cdot k - 1) + 2 \cdot k + (2 \cdot k + 1)$

Jedničky se od sebe odečtou a jednotlivé členy, kde se vyskytuje $k$, můžeme sečíst. Dostaneme:

$(2 \cdot k - 1) + 2 \cdot k + (2 \cdot k + 1)$ = $6 \cdot k$

Je zřejmé, že výraz $6 \cdot k$ musí být dělitelný šesti, pokud je $k$ přirozené číslo, čímž je důkaz dokončen.

Dobrý večer,

děkuji a ráda bych se zeptala jestli tohle platí i pro celá čísla. Děkuji.

Zdravím opět, Soňo,

omlouvám se, měl jsem původně dojem, že píšete pouze o přirozených číslech, ale teď vidím, že jsem se přehlédl. Pro celá čísla to platí určitě také.

$k \in \mathbb{ Z}$

pak

$(2 \cdot k - 1) + 2 \cdot k + (2 \cdot k + 1) = 6 \cdot k$,

stále úplně stejná argumentace.

Omlouvám se za další dotaz, ale proč se označí všechna tři čísla jako sudá, když sudé je pouze to prostřední ? Děkuji

Zdravím opět, Soňo,

neoznačuji je jako sudá, mám výraz $2 \cdot k$, který je nutně sudý a pokud k němu přičtu $1$, určitě bude jeho hodnota pro všechna $k$ lichá.

Všimněte si, že je rozdíl mezi zápisy

$2 \cdot (k + 1)$

$2 \cdot k + 1$,

kde první z výrazů má pro všechna celočíselná $k$ sudou hodnotu a druhý naopak lichou. Já v důkazu používám tento druhý zápis.