Matematika

Přeji pěkný večer, Soňo,

označme prostřední z těchto čísel \(n \in \mathbb{ N} \ \setminus \) { \(0\)} , tedy jde o přirozené číslo, nikoliv však o nulu.

Součet těchto tří čísel tedy je

\((n - 1) + n + (n + 1)\)

Současně platí, že \(n\) je dělitelné dvěma (víme, že je sudé), můžeme jej tedy zapsat jako \(n = 2 \cdot k\), kde \(k \in \mathbb{ N} \ \setminus\) { \(0\)} .

Píšeme tedy:

\((2 \cdot k - 1) + 2 \cdot k + (2 \cdot k + 1)\)

Jedničky se od sebe odečtou a jednotlivé členy, kde se vyskytuje \(k\), můžeme sečíst. Dostaneme:

\((2 \cdot k - 1) + 2 \cdot k + (2 \cdot k + 1)\) = \(6 \cdot k\)

Je zřejmé, že výraz \(6 \cdot k\) musí být dělitelný šesti, pokud je \(k\) přirozené číslo, čímž je důkaz dokončen.

Dobrý večer,

děkuji a ráda bych se zeptala jestli tohle platí i pro celá čísla. Děkuji.

Zdravím opět, Soňo,

omlouvám se, měl jsem původně dojem, že píšete pouze o přirozených číslech, ale teď vidím, že jsem se přehlédl. Pro celá čísla to platí určitě také.

\(k \in \mathbb{ Z} \)

pak

\((2 \cdot k - 1) + 2 \cdot k + (2 \cdot k + 1) = 6 \cdot k\),

stále úplně stejná argumentace.

Omlouvám se za další dotaz, ale proč se označí všechna tři čísla jako sudá, když sudé je pouze to prostřední ? Děkuji

Zdravím opět, Soňo,

neoznačuji je jako sudá, mám výraz \(2 \cdot k\), který je nutně sudý a pokud k němu přičtu \(1\), určitě bude jeho hodnota pro všechna \(k\) lichá.

Všimněte si, že je rozdíl mezi zápisy

\(2 \cdot (k + 1)\)

\(2 \cdot k + 1\),

kde první z výrazů má pro všechna celočíselná \(k\) sudou hodnotu a druhý naopak lichou. Já v důkazu používám tento druhý zápis.