Matematika
Dobrý večer,
ráda bych se zeptala na řešení tohohle příkladu:
Dokažte, že součet každých tří po sobě jdoucích mocnin čísla 2 (počínajicí dvě jedniny) je dělitelný 7 ?
Soňa M.
06. 03. 2021 23:32
1 odpověď
Přeji pěkný večer, Soňo,
ať \(n \in \mathbb{ N} \), tedy \(n\) je přirozené číslo (včetně nuly). Úplně nechápu, co myslíte tím 'počínající dvě jedniny', zřejmě to má být nějaké nejnižší \(n\), pro které to platí, ale připadá mi to nesrozumitelné. Budu dokazovat pro výše uvedená \(n\) tvrzení, že \(2^n + 2^{ n+1} + 2^{ n+2} \) je dělitelné \(7\).
Využijeme toho, co víme o součtu v exponentu.
\(2^n + 2^{ n+1} + 2^{ n+2} = 2^n + 2^1 \cdot 2^n + 2^2 \cdot 2^n = 2^n \cdot (1 + 2^1 + 2^2) = 7 \cdot 2^n\)
Jelikož každý takový součet lze zapsat jako \(7 \cdot 2^n\), pak je zjevné, že musí být dělitelný sedmi.